Se lim x a f(x)= +infty e lim x a g(x)=0, ent ^2 ao lim x a f(x) g(x)=+infty

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui, temos duas funções, e , e queremos descobrir o limite do produto dessas duas funções quando se aproxima de um valor . Especificamente, sabemos que:
  • (ou seja, cresce sem limites à medida que se aproxima de ).
  • (ou seja, se aproxima de zero quando se aproxima de ).
Nosso objetivo é encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada um desses limites separadamente.
  • Quando dizemos que , estamos dizendo que à medida que se aproxima de , os valores de ficam maiores e maiores sem limite superior; eles “crescem para o infinito”.
  • Por outro lado, significa que à medida que se aproxima de , os valores de ficam cada vez menores, se aproximando de zero.

Passo 3

Agora, queremos descobrir o que acontece com o produto dessas duas funções, , quando se aproxima de .
Quando multiplicamos que está indo para por que está indo para 0, estamos lidando com uma indeterminação do tipo . Isso porque o “infinito” de tende a puxar o produto para o infinito, enquanto o zero de puxa o produto para zero.

Passo 4

Para resolver essa indeterminação, precisamos analisar como cada função está se comportando em relação à outra. Dependendo de qual função “atua mais rápido”, o resultado do limite pode variar.
No entanto, de acordo com a afirmação dada na questão, estamos assumindo que cresce para de uma maneira que, mesmo sendo multiplicado por que tende a zero, o produto ainda tende a .
Isso geralmente acontece quando cresce muito rapidamente, de tal forma que mesmo multiplicado por um número muito pequeno (próximo de zero), o resultado ainda cresce sem limites.

Resposta

Portanto, sob as condições dadas, concluímos que:
limx to a f(x) cdot g(x) = +infty

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