Se
, ent
ao
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui, temos duas funções,
e
, e queremos descobrir o limite do produto dessas duas funções quando
se aproxima de um valor
. Especificamente, sabemos que:
-
(ou seja, cresce sem limites à medida que se aproxima de ). -
(ou seja, se aproxima de zero quando se aproxima de ).
Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada um desses limites separadamente.
-
Quando dizemos que
, estamos dizendo que à medida que se aproxima de , os valores de ficam maiores e maiores sem limite superior; eles “crescem para o infinito”. -
Por outro lado,
significa que à medida que se aproxima de , os valores de ficam cada vez menores, se aproximando de zero.
Passo 3
Agora, queremos descobrir o que acontece com o produto dessas duas funções,
, quando
se aproxima de
.
Quando multiplicamos
que está indo para
por
que está indo para 0, estamos lidando com uma indeterminação do tipo
. Isso porque o “infinito” de
tende a puxar o produto para o infinito, enquanto o zero de
puxa o produto para zero.
Passo 4
Para resolver essa indeterminação, precisamos analisar como cada função está se comportando em relação à outra. Dependendo de qual função “atua mais rápido”, o resultado do limite pode variar.
No entanto, de acordo com a afirmação dada na questão, estamos assumindo que
cresce para
de uma maneira que, mesmo sendo multiplicado por
que tende a zero, o produto ainda tende a
.
Isso geralmente acontece quando
cresce muito rapidamente, de tal forma que mesmo multiplicado por um número muito pequeno (próximo de zero), o resultado ainda cresce sem limites.
Resposta
Portanto, sob as condições dadas, concluímos que: