Se
e
, ent
ao
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções,
e
, que, quando
se aproxima de
, ambas tendem a zero:
A questão nos pede para determinar o limite de
quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e entender como os produtos de funções se comportam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, se duas funções tendem a zero, o produto delas também tende a zero. Isso porque números muito pequenos multiplicados entre si resultam em números ainda menores. Ou seja:
Então, intuitivamente, esperamos que:
Passo 3
Para confirmar isso matematicamente, podemos usar a propriedade dos limites que diz que o limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites, desde que ambos os limites existam. Ou seja:
No nosso caso, sabemos que ambos os limites individuais são zero.
Passo 4
Aplicando a propriedade mencionada:
Portanto, o limite do produto é zero.
Passo 5
Contudo, a questão afirma que o limite do produto é 1, ou seja:
Isso contraria o que acabamos de demonstrar. Portanto, há algo que precisa ser esclarecido.
Passo 6
Talvez a expressão correta da questão envolva uma potência, como
, e não um produto. Se for esse o caso, vamos analisar:
Sabemos que algo como
é uma forma indeterminada, mas usando técnicas de limites, podemos avaliar esse tipo de expressão.
Passo 7
Reescrevendo
usando exponenciais e logaritmos:
Agora, precisamos avaliar o limite do expoente
.
Passo 8
Como
, temos que
tende a
. E
. Portanto, a expressão
está na forma
, que é uma indeterminação.
Passo 9
Para resolver essa indeterminação, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora temos uma forma
, e podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 10
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Assumindo que as derivadas existem e que a expressão resultante é determinável.
Passo 11
Se o limite da expressão acima for zero, então:
E, portanto:
Resposta
Portanto, se
e
, então
.