Se lim x a f(x)=0 e lim x a g(x)=0, ent ^sim ao lim x a f(x) g(x)=1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções, limx a f(x) = 0 e limx a g(x) = 0 e , que, quando se aproxima de , ambas tendem a zero:
A questão nos pede para determinar o limite de quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e entender como os produtos de funções se comportam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, se duas funções tendem a zero, o produto delas também tende a zero. Isso porque números muito pequenos multiplicados entre si resultam em números ainda menores. Ou seja:
0 times 0 = 0
Então, intuitivamente, esperamos que:
limx a f(x) cdot g(x) = 0

Passo 3

Para confirmar isso matematicamente, podemos usar a propriedade dos limites que diz que o limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites, desde que ambos os limites existam. Ou seja:
limx a [f(x) cdot g(x)] = ( limx a f(x) ) cdot ( limx a g(x) )
No nosso caso, sabemos que ambos os limites individuais são zero.

Passo 4

Aplicando a propriedade mencionada:
limx a [f(x) cdot g(x)] = 0 cdot 0 = 0
Portanto, o limite do produto é zero.

Passo 5

Contudo, a questão afirma que o limite do produto é 1, ou seja:
limx a f(x) cdot g(x) = 1
Isso contraria o que acabamos de demonstrar. Portanto, há algo que precisa ser esclarecido.

Passo 6

Talvez a expressão correta da questão envolva uma potência, como limx a f(x)^g(x) , e não um produto. Se for esse o caso, vamos analisar:
Sabemos que algo como é uma forma indeterminada, mas usando técnicas de limites, podemos avaliar esse tipo de expressão.

Passo 7

Reescrevendo f(x)^g(x) = e^g(x) cdot ln(f(x)) usando exponenciais e logaritmos:
Agora, precisamos avaliar o limite do expoente .

Passo 8

Como , temos que tende a . E . Portanto, a expressão está na forma , que é uma indeterminação.

Passo 9

Para resolver essa indeterminação, podemos reescrever a expressão como uma fração:
g(x) cdot ln(f(x)) = ln(f(x))1/g(x)
Agora temos uma forma , e podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 10

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a limx a f'(x)f(x)-g'(x)g(x)^2 = limx a -g(x) cdot f'(x)f(x) :
Assumindo que as derivadas existem e que a expressão resultante é determinável.

Passo 11

Se o limite da expressão acima for zero, então:
limx a g(x) cdot ln(f(x)) = 0
E, portanto:
limx a f(x)^g(x) = e^0 = 1

Resposta

Portanto, se e , então .

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