Lista de exercícios II (Unidade II): Trabalho e energia cinética
Prof: João Carlos Rocha de Araújo
Exercícios dos livros: Young e Freedman 14a ed. Cap. 6, Halliday 9a ed. Cap. 7 e Tipler 6a ed cap 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra demonstrar o teorema trabalho-energia cinética considerando uma força constante qualquer, chamada de F. A matéria envolvida aqui é Trabalho e Energia Cinética, que faz parte da física. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é trabalho feito por uma força e como ele se relaciona com a energia cinética de um objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. Trabalho ( W) é uma medida de energia transferida quando uma força atua sobre um objeto e o desloca. A fórmula para o trabalho de uma força constante é:
W = F cdot d cdot cos(theta)
Onde:
  • F é a força aplicada,
  • d é o deslocamento,
  • theta é o ângulo entre a direção da força e a direção do deslocamento.
Como a força F é constante e vamos considerar que ela está na mesma direção do deslocamento, o ângulo theta é 0 graus. Então, cos(0) = 1, simplificando a fórmula para:
W = F cdot d

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa força com a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa do objeto vezes a sua aceleração ( F = m cdot a). Se a força é constante, a aceleração também será constante.
Sabemos que aceleração ( a) é a variação da velocidade ( v) em relação ao tempo, ou seja:
a = dvdt

Passo 4

Vamos integrar a aceleração para obter a velocidade em função do tempo. Se assumirmos que a aceleração é constante, temos:
v = a cdot t + v0
Onde v0 é a velocidade inicial. Para simplificar, vamos considerar que o objeto parte do repouso, então v0 = 0, e:
v = a cdot t

Passo 5

Agora, vamos relacionar o deslocamento ( d) com a velocidade. Sabemos que deslocamento é a integral da velocidade em relação ao tempo:
d = integral v , dt = integral a cdot t , dt = 12 a t^2

Passo 6

Vamos substituir a aceleração a pela expressão da segunda lei de Newton ( a = Fm):
d = 12 cdot Fm cdot t^2

Passo 7

Agora, substituímos d na fórmula do trabalho:
W = F cdot ( 12 cdot Fm cdot t^2 ) = F^22m cdot t^2

Passo 8

Vamos relacionar isso com a velocidade do objeto. Sabemos que v = a cdot t = Fm cdot t, então podemos resolver para t:
t = m cdot vF
Substituindo na expressão de W:
W = F^22m cdot ( m cdot vF )^2 = F^22m cdot m^2 cdot v^2F^2 = m cdot v^22

Resposta

Assim, demonstramos que o trabalho realizado pela força constante F é igual à variação da energia cinética do objeto:
W = De

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