Uma maionese mal conservada causou mal estar nos frequentadores de um clube. Uma investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei n(t) = 200.2^at, em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t horas após o início do almoço e a é uma constante real.
a) Determine o número inicial de bactérias?
b) Sabendo que após 3 horas do início do almoço o número de bactérias era 800, determine o valor da constante a.
c) Determine o número de bactérias após 1 dia da realização do almoço?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre como a bactéria salmonela se multiplica na maionese segundo a lei $ n(t) = 200 \cdot 2^{a t} $, onde $ n(t) $ é o número de bactérias após $ t $ horas. Vamos precisar de conhecimentos sobre funções exponenciais e como manipulá-las para encontrar os valores pedidos nas questões a), b) e c).

Passo 2

a) Determinar o número inicial de bactérias
Para encontrar o número inicial de bactérias, queremos saber quantas bactérias existem no começo, ou seja, quando $ t = 0 $.
Vamos substituir $ t = 0 $ na fórmula:
t = 0
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
t = 0

Passo 3

b) Determinar o valor da constante $ a $ sabendo que após 3 horas o número de bactérias era 800
Aqui, temos que quando $ t = 3 $, $ n(t) = 800 $. Vamos substituir esses valores na fórmula e resolver para $ a $:
a
Primeiro, dividimos ambos os lados por 200:
t = 3
n(t) = 800
Sabemos que $ 4 = 2^2 $, então:
a
Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
800 = 200 cdot 2^a cdot 3
Agora, resolvemos para $ a $:
800200 = 2^3a

Passo 4

c) Determinar o número de bactérias após 1 dia da realização do almoço
Um dia tem 24 horas, então $ t = 24 $. Vamos usar o valor de $ a = \frac{2}{3} $ que encontramos na parte b) e substituir na fórmula:
t = 24
Primeiro, calculamos o expoente:
a = 23
Então:
n(24) = 200 cdot 2^( 23 cdot 24 )
Sabemos que $ 2^{16} = 65,536 $, então:
23 cdot 24 = 16

Resposta

a) O número inicial de bactérias é 200 bactérias.
b) O valor da constante $ a $ é $ \frac{2}{3} $.
c) O número de bactérias após 1 dia é 13.107.200 bactérias.

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