Uma máquina de encher pacotes de determinado produto em pó enche-os de forma que o peso dos pacotes é uma variável aleatória normalmente distribuída com média
e desvio padrão
. A média amostral resultante de uma amostra aleatória de 16 pacotes enchidos por esta máquina é usada para decidir se o processo de produção está operando satisfatoriamente ou não, toma-se a seguinte regra decisória: Se o peso médio amostral, em gramas, está compreendido entre 230 g e 270 g diz-se que o processo está operando satisfatoriamente. Caso contrário deve-se parar a produção para regular a máquina. Obtenha a probabilidade de se parar a produção para regular a máquina.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma máquina que enche pacotes de um produto em pó, onde o peso de cada pacote é uma variável aleatória normalmente distribuída com média
e desvio padrão
. Queremos descobrir a probabilidade de parar a produção para regular a máquina com base na média amostral de 16 pacotes. A regra diz que se a média amostral estiver entre 230 g e 270 g, tudo está funcionando bem; caso contrário, a produção deve ser interrompida.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de Distribuição Normal, Média Amostral e Probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição da média amostral. Quando tiramos uma amostra de tamanho
de uma distribuição normal com média
e desvio padrão
, a média amostral
também é normalmente distribuída, com média igual a
e desvio padrão
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de a média amostral estar fora do intervalo [230 g, 270 g]. Isso significa que vamos calcular:
Vamos transformar essas probabilidades em valores Z usando a fórmula:
Passo 4
Calculando o valor de Z para
:
E para
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
e
. Lembrando que a distribuição normal é simétrica, temos:
Consultando uma tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, percebemos que valores de Z tão extremos (
) têm probabilidades praticamente nulas.
Passo 6
Portanto, a probabilidade total de parar a produção é:
Resposta
A probabilidade de parar a produção para regular a máquina é praticamente zero.