Uma máquina de encher pacotes de determinado produto em pó enche-os de forma que o peso dos pacotes é uma variável aleatória normalmente distribuída com média mu=250 g e desvio padrão sigma=10 g. A média amostral resultante de uma amostra aleatória de 16 pacotes enchidos por esta máquina é usada para decidir se o processo de produção está operando satisfatoriamente ou não, toma-se a seguinte regra decisória: Se o peso médio amostral, em gramas, está compreendido entre 230 g e 270 g diz-se que o processo está operando satisfatoriamente. Caso contrário deve-se parar a produção para regular a máquina. Obtenha a probabilidade de se parar a produção para regular a máquina.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma máquina que enche pacotes de um produto em pó, onde o peso de cada pacote é uma variável aleatória normalmente distribuída com média mu = 250 g e desvio padrão sigma = 10 g. Queremos descobrir a probabilidade de parar a produção para regular a máquina com base na média amostral de 16 pacotes. A regra diz que se a média amostral estiver entre 230 g e 270 g, tudo está funcionando bem; caso contrário, a produção deve ser interrompida.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de Distribuição Normal, Média Amostral e Probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição da média amostral. Quando tiramos uma amostra de tamanho n = 16 de uma distribuição normal com média mu e desvio padrão sigma, a média amostral barX também é normalmente distribuída, com média igual a mu e desvio padrão sigmabarX = sigmaraizn.
Então, temos:
mubarX = mu = 250 g
sigmabarX = 10raiz16 = 104 = 2.5 g

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de a média amostral estar fora do intervalo [230 g, 270 g]. Isso significa que vamos calcular:
P(barX < 230) + P(barX > 270)
Vamos transformar essas probabilidades em valores Z usando a fórmula:
Z = barX - mubarXsigmabarX

Passo 4

Calculando o valor de Z para barX = 230 g:
Z1 = 230 - 2502.5 = -202.5 = -8
E para barX = 270 g:
Z2 = 270 - 2502.5 = 202.5 = 8

Passo 5

Agora, precisamos encontrar P(Z < -8) e P(Z > 8). Lembrando que a distribuição normal é simétrica, temos:
P(Z < -8) = P(Z > 8)
Consultando uma tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, percebemos que valores de Z tão extremos ( Z = pm8) têm probabilidades praticamente nulas.

Passo 6

Portanto, a probabilidade total de parar a produção é:
P(barX < 230) + P(barX > 270) = 2 times P(Z > 8) approx 0

Resposta

A probabilidade de parar a produção para regular a máquina é praticamente zero.

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