Definimos a variável aleatória R=barX-mu como sendo o erro amostral da média. E suponha que a variável aleatória X que indica salários dos funcionários segue o modelo normal com média mu e variância é igual a 400 unidades ao quadrado. E que proporção das amostras de tamanho 100 terão erro amostral absoluto maior do que 2 unidades?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma variável aleatória $ R = \bar{X} - \mu $, que representa o erro amostral da média. A gente sabe que os salários dos funcionários seguem uma distribuição normal com média $ \mu $ e variância igual a 400 unidades ao quadrado. A questão pede para encontrar a proporção das amostras de tamanho 100 que terão um erro amostral absoluto maior que 2 unidades. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição normal, variância da média amostral e como calcular probabilidades usando a tabela z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ R = \bar{X} - \mu $. Aqui, $ \bar{X} $ é a média da amostra de tamanho 100. Como $ X $ segue uma distribuição normal $ N(\mu, 400) $, a média da amostra $ \bar{X} $ também seguirá uma distribuição normal, mas com média $ \mu $ e variância $ \frac{400}{100} = 4 $. Então, $ \bar{X} \sim N\left(\mu, 4\right) $.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de $ |R| > 2 $, ou seja, $ |\bar{X} - \mu| > 2 $. Isso é o mesmo que dizer que $ \bar{X} $ está a mais de 2 unidades da média $ \mu $. Podemos reescrever isso como $ P(\bar{X} - \mu > 2 , ou , \bar{X} - \mu < -2) $, que é igual a $ 2P(\bar{X} - \mu > 2) $ devido à simetria da distribuição normal.

Passo 4

Para calcular $ P(\bar{X} - \mu > 2) $, vamos padronizar essa variável. Sabemos que $ \bar{X} - \mu \sim N(0, 4) $, então o desvio padrão é $ \sqrt{4} = 2 $. Vamos usar a variável $ Z $ da distribuição normal padrão:
P(barX - mu > 2)
Queremos $ P\left(Z > \frac{2}{2}\right) = P(Z > 1) $. Usando a tabela z, sabemos que $ P(Z > 1) \approx 0,1587 $.

Resposta

Portanto, a proporção das amostras de tamanho 100 que terão um erro amostral absoluto maior que 2 unidades é aproximadamente $ 31,74% $.

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