As máquinas térmicas transformam a energia interna de um combustível em energia mecânica. De acordo com a Lei da Termodinâmica, não é possível construir uma máquina térmica que transforme toda a energia interna do combustível em trabalho, isto é, uma máquina de rendimento igual a 1 ou equivalente a . Mostre que o rendimento máximo obtido por uma máquina térmica operando entre as temperaturas (fonte quente) e (fonte fria) é dado por: .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma máquina térmica que transforma a energia interna de um combustível em trabalho mecânico. A 2ª Lei da Termodinâmica diz que não dá para transformar toda essa energia em trabalho, ou seja, o rendimento nunca pode ser 100%. A pergunta quer que a gente mostre que o rendimento máximo dessa máquina operando entre duas temperaturas, (fonte quente) e (fonte fria), é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é rendimento, como funciona uma máquina térmica e aplicar os princípios da 2ª Lei da Termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é rendimento ( ). O rendimento de uma máquina térmica é a relação entre o trabalho útil que ela realiza ( ) e a quantidade de calor fornecida pela fonte quente ( ):
Isso nos diz quão eficiente a máquina é em converter calor em trabalho.

Passo 3

Agora, segundo a 2ª Lei da Termodinâmica, existe um limite para esse rendimento quando a máquina opera de forma reversível, ou seja, sem perdas. Esse é o rendimento máximo possível, conhecido como rendimento de Carnot. Para uma máquina operando entre duas temperaturas e , o rendimento de Carnot é:
Onde e estão em Kelvin.

Passo 4

Vamos ver por que essa fórmula faz sentido. Imagine que parte do calor é transformado em trabalho e o restante é rejeitado para a fonte fria :
A partir disso, podemos expressar o rendimento como:
Segundo a 2ª Lei, para a máquina operar de forma reversível, as proporções dos calores trocados estão relacionadas às temperaturas das fontes:

Passo 5

Substituindo essa relação na fórmula do rendimento, temos:
Isso mostra que o rendimento máximo que uma máquina térmica pode alcançar, operando entre as temperaturas e , é exatamente .

Resposta

O rendimento máximo da máquina térmica é dado por:

Exercícios relacionados

O astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) analisou durante muitos anos as anotações de seu mestre Ticho Brahe (1546-1601) sobre o movimento dos astros, e apresentou suas conclusões através de três leis, que passaram a ser designadas Leis de Kepler. Essas leis, juntamente com a Lei de Gravitação Universal de Newton, regem até hoje os estudos nessa área. Sobre o tema, assinale o que for correto.
  1. A velocidade de um planeta em torno do Sol é variável. Ela aumenta à medida que o planeta se aproxima do Sol e diminui à medida que se afasta.
  2. A aceleração da gravidade na superfície da Terra, ao nível do mar, vale aproximadamente . Já na superfície da Lua, esse valor é aproximadamente igual a 1,6 m/s². Desse modo, podemos afirmar que, se a massa de um corpo vale 64 kg na Terra, na Lua o valor dessa grandeza será 7 vezes menor.
  3. A segunda lei de Kepler diz que 4) Dois satélites e , que giram ao redor de um planeta, têm períodos de translação iguais a dias e dias. Se o raio da órbita do satélite vale , o raio da órbita do satélite corresponde a .
O conhecimento do ser humano sobre o Universo ainda é bastante precário. Muitas teorias cosmológicas foram sendo desenvolvidas até que Kepler e Newton estabelecessem leis que nos permitissem avançar nessa área. Tendo como base esses conhecimentos, assinale o que for correto.
  1. A terceira lei de Kepler afirma que 2) Considere que a órbita de um planeta em torno de sua estrela seja praticamente circular. Esse planeta descreve um quarto de sua órbita em torno dessa estrela em 48 dias terrestres. Sendo o raio de sua órbita igual a 8.000 km , podemos afirmar, então, que sua velocidade areolar, ou seja, a razão entre a área varrida e o tempo para fazer esse movimento, tem valor maior que . (Dado ).
  2. O astrônomo Grego Ptolomeu, no século II d.C., propôs um sistema planetário heliocêntrico (Sol no centro). Mais tarde, Nicolau Copérnico, polonês que viveu de 1.473 a 1.543, publicou a obra 4) Um certo planeta A tem o triplo da massa do planeta B e o raio 3 vezes menor. Então, a relação entre as acelerações da gravidade desses planetas será .
  3. Velocidade de escape é a menor velocidade com que se deve lançar um corpo da superfície da Terra para que a atração do planeta sobre esse corpo seja tão pequena que possa ser desprezada.
(HALLIDAY, RESNICK, WALKER, 2008) Um condicionador de ar de Carnot pega energia da energia térmica de uma sala 700 F e a transfere para um ambiente externo, que está 960 F . Para cada Joule de energia elétrica necessária para operar o condicionador de ar, quantos Joules de calor serão removidos do quarto?
Uma pequena esfera de chumbo de massa igual à 8,0 g possui excesso de elétrons com uma carga líquida igual a C. a) Calcule o número de elétrons em excesso sobre a esfera. b) Quantos elétrons em excesso existem por átomo de chumbo? O número atômico do chumbo é igual a 82 e sua massa atômica é .