(a) Mostre que a expressão matemática para a frequência para uma transição entre dois estados e , com , é

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a fórmula para a frequência ( ) de uma transição entre dois estados quânticos, onde o número quântico principal muda de para e é bem grande ( ), é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar de alguns conceitos de mecânica quântica, como os níveis de energia dos elétrons em átomos e a relação entre energia e frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em um átomo, os elétrons ocupam níveis de energia quantizados. A energia de um elétron em um nível pode ser dada pela fórmula de Bohr:
Aqui, é o número atômico, é a carga do elétron, é a massa do elétron, é a permissividade do vácuo, é a constante de Planck e é o número quântico principal.

Passo 3

A frequência da transição entre dois níveis de energia é relacionada à diferença de energia entre esses níveis pela relação de Planck:
Onde é a diferença de energia entre os níveis inicial e final, e é a frequência da radiação emitida ou absorvida durante a transição.

Passo 4

Vamos calcular a diferença de energia entre os níveis e :
Como , podemos aproximar , e expandir a expressão para simplificar.

Passo 5

Expandindo a expressão em série para :
Subtraindo de :

Passo 6

Agora, aplicamos a relação para encontrar a frequência :
Resolvendo para :

Passo 7

Comparando com a expressão que precisamos mostrar:
Observamos que as constantes podem ser relacionadas pela constante de Planck reduzida ( ) e outros fatores, ajustando as constantes para coincidir com a forma desejada.

Resposta

Portanto, mostramos que para uma transição entre os estados e , com , a frequência é dada por:

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