Um motor está apoiado em quatro molas, cada uma tendo constante de 1000 N/m. A frequência angular natural é de ωn = 40 rad/s. O rotor do motor é desbalanceado e a força centrífuga devido a esse deslocamento é de 80 N. A vibração do motor é na frequência de 50 rad/s. O motor move-se apenas na vertical. Determine o módulo da amplitude máxima de deslocamento do motor.
a.
0,020 m
b.
1,33 m
c.
0,0040 m
d.
0,0070 m
e.
0,036 m

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre vibrações de um motor apoiado em molas. A gente vai usar conceitos de física relacionados a sistemas massa-mola e frequências naturais e forçadas. Precisamos calcular a amplitude máxima do deslocamento do motor quando ele está vibrando na frequência de 50 rad/s, dada a força centrífuga e as características das molas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • São 4 molas, cada uma com constante elástica $ k = 1000 , N/m $.
  • A frequência angular natural do sistema é $ \omega_n = 40 , rad/s $.
  • A força centrífuga devido ao desbalanceamento é $ F = 80 , N $.
  • A frequência da vibração forçada é $ \omega = 50 , rad/s $.

Passo 3

Vamos calcular a constante elástica total do sistema. Como as molas estão apoiando o motor, elas estão em paralelo. Então, a constante elástica total $ K $ é:
K

Passo 4

A amplitude do deslocamento em uma vibração forçada pode ser calculada pela fórmula:
X = FK times 1raiz(1 - (omegaomegan)^2)^2
Aqui, estamos assumindo que não há amortecimento no sistema.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
omegaomegan = 5040 = 1,25
Então,
(1 - (1,25)^2)^2 = (1 - 1,5625)^2 = (-0,5625)^2 = 0,3164
Portanto,
X = 804000 times 1raiz0,3164 approx 0,02 , m

Resposta

A amplitude máxima de deslocamento do motor é de aproximadamente 0,020 m.

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