Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z.
Agora devemos encontrar as soluções para as equações diferenciais (3) e (4). Mostre que as seguintes funções do campo elétrico e magnético são soluções destas equações diferenciais:
& E(x, t)=E0 cos (k x-omega t) & B(x, t)=B0 cos (k x-omega t)

Passo 1

OK, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos derivar a equação da onda para a luz usando as Equações de Maxwell. Depois, encontrar as soluções dessa equação assumindo que o campo elétrico varia com e na direção e o campo magnético varia com e na direção . Para isso, vamos usar conceitos básicos de eletromagnetismo e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell no vácuo:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos supor que o campo elétrico E(x, t) = Ey(x, t) y está na direção B(x, t) = Bz(x, t) z e depende de e , ou seja:
E o campo magnético está na direção e também depende de e :

Passo 4

Vamos usar a terceira Equação de Maxwell: nabla times E = ( partial Eypartial x ) z .
Calculando o rotacional de -partial Bpartial t = -partial Bzpartial t z :
partial Eypartial x = -partial Bzpartial t
E a derivada temporal de :
Igualando as duas expressões:

Passo 5

Agora, vamos usar a quarta Equação de Maxwell: nabla times B = ( partial Bzpartial x ) (-y) .
Calculando o rotacional de mu0 epsilon0 partial Epartial t = mu0 epsilon0 partial Eypartial t y :
-partial Bzpartial x = mu0 epsilon0 partial Eypartial t
E a derivada temporal de :
Igualando as duas expressões:

Passo 6

Agora, vamos derivar uma equação de onda para partial^2 Eypartial x^2 = -partial^2 Bzpartial x partial t . Diferenciando a equação do Passo 4 em relação a partial^2 Eypartial x^2 = -partialpartial t ( -mu0 epsilon0 partial Eypartial t ) = mu0 epsilon0 partial^2 Eypartial t^2 :
partial^2 Eypartial x^2 = mu0 epsilon0 partial^2 Eypartial t^2
E substituindo da equação do Passo 5:
Rearranjando:
Essa é a equação da onda para o campo elétrico .

Passo 7

A equação da onda geral tem a forma:
partial^2 Psipartial x^2 = 1v^2 partial^2 Psipartial t^2
Comparando com a nossa equação:
mu0 epsilon0 = 1v^2
Portanto, a velocidade da onda é:
v = 1raizmu0 epsilon0
Sabemos que essa velocidade é a velocidade da luz .

Passo 8

Agora, vamos encontrar as soluções para as equações diferenciais. Proponhamos que as soluções sejam da forma:
Ey(x, t) = E0 cos(kx - omega t)
Bz(x, t) = B0 cos(kx - omega t)
Onde e são amplitudes, é o número de onda e é a frequência angular.

Passo 9

Vamos verificar se essas funções satisfazem a equação da onda. Calculando as derivadas:
Primeira derivada espacial de partial Eypartial x = -E0 k sin(kx - omega t) :
partial^2 Eypartial x^2 = -E0 k^2 cos(kx - omega t)
Segunda derivada espacial:
partial Eypartial t = E0 omega sin(kx - omega t)
Primeira derivada temporal de partial^2 Eypartial t^2 = -E0 omega^2 cos(kx - omega t) :
-E0 k^2 cos(kx - omega t) = mu0 epsilon0 (-E0 omega^2 cos(kx - omega t))
Segunda derivada temporal:
k^2 = mu0 epsilon0 omega^2
Substituindo na equação da onda:
Simplificando:
Isso mostra que as funções propostas satisfazem a equação da onda se e estiverem relacionados por essa equação.

Passo 10

Também podemos relacionar os campos elétrico e magnético. A partir das Equações de Maxwell, temos que:
B0 = E0c
Onde é a velocidade da luz.

Resposta

As funções propostas para os campos elétrico e magnético são soluções das equações diferenciais derivadas das Equações de Maxwell. Portanto, as soluções são:
E(x, t) = E0 cos (k x - omega t)
B(x, t) = B0 cos (k x - omega t)

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