Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de
e
ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de
e
ao longo da direção
.
Agora devemos encontrar as soluções para as equações diferenciais (3) e (4). Mostre que as seguintes funções do campo elétrico e magnético são soluções destas equações diferenciais:
Agora devemos encontrar as soluções para as equações diferenciais (3) e (4). Mostre que as seguintes funções do campo elétrico e magnético são soluções destas equações diferenciais:
Passo 1
OK, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos derivar a equação da onda para a luz usando as Equações de Maxwell. Depois, encontrar as soluções dessa equação assumindo que o campo elétrico
varia com
e
na direção
e o campo magnético
varia com
e
na direção
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de eletromagnetismo e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell no vácuo:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos supor que o campo elétrico
está na direção
e depende de
e
, ou seja:
E o campo magnético
está na direção
e também depende de
e
:
Passo 4
Vamos usar a terceira Equação de Maxwell:
.
Calculando o rotacional de
:
E a derivada temporal de
:
Igualando as duas expressões:
Passo 5
Agora, vamos usar a quarta Equação de Maxwell:
.
Calculando o rotacional de
:
E a derivada temporal de
:
Igualando as duas expressões:
Passo 6
Agora, vamos derivar uma equação de onda para
. Diferenciando a equação do Passo 4 em relação a
:
E substituindo
da equação do Passo 5:
Rearranjando:
Essa é a equação da onda para o campo elétrico
.
Passo 7
A equação da onda geral tem a forma:
Comparando com a nossa equação:
Portanto, a velocidade da onda é:
Sabemos que essa velocidade
é a velocidade da luz
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar as soluções para as equações diferenciais. Proponhamos que as soluções sejam da forma:
Onde
e
são amplitudes,
é o número de onda e
é a frequência angular.
Passo 9
Vamos verificar se essas funções satisfazem a equação da onda. Calculando as derivadas:
Primeira derivada espacial de
:
Segunda derivada espacial:
Primeira derivada temporal de
:
Segunda derivada temporal:
Substituindo na equação da onda:
Simplificando:
Isso mostra que as funções propostas satisfazem a equação da onda se
e
estiverem relacionados por essa equação.
Passo 10
Também podemos relacionar os campos elétrico e magnético. A partir das Equações de Maxwell, temos que:
Onde
é a velocidade da luz.
Resposta
As funções propostas para os campos elétrico e magnético são soluções das equações diferenciais derivadas das Equações de Maxwell. Portanto, as soluções são: