Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de e ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de e ao longo da direção .
Escreva as equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente escrever as Equações de Maxwell em um meio sem correntes e cargas, e depois derivar a equação da onda para a luz a partir delas. A matéria envolvida aqui é eletromagnetismo, especificamente as Equações de Maxwell. Vamos precisar lembrar dessas equações e como aplicá-las para derivar a equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as Equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas. Isso significa que a densidade de carga elétrica e a densidade de corrente são zero. As Equações de Maxwell ficam assim:
Aqui, é o campo elétrico e é o campo magnético. é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos derivar a equação da onda para o campo elétrico . Para isso, vamos aplicar o rotor (nabla cruz) na terceira equação de Maxwell:
Fazendo o rotor dos dois lados:

Passo 4

Vamos usar a identidade vetorial:
Como em um meio livre, a primeira parte desaparece:

Passo 5

Agora, vamos substituir da quarta equação de Maxwell:
Portanto,
Simplificando os sinais:

Passo 6

Essa é a equação da onda para o campo elétrico . Podemos escrever de forma mais familiar:
Aqui, a velocidade da luz está relacionada por:
Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, vamos achar as soluções dessa equação. Considerando que o campo elétrico é função de e ao longo da direção , podemos assumir uma solução do tipo onda que se propaga na direção :
onde é a amplitude, é o número de onda, é a frequência angular, e é o vetor unitário na direção .

Passo 8

Substituindo essa solução na equação da onda, vamos verificar se satisfaz a equação:
Primeiro, a segunda derivada temporal:
E a segunda derivada espacial:
Substituindo na equação da onda:
que simplifica para:

Passo 9

Essa relação mostra a relação entre a frequência e o número de onda para ondas eletromagnéticas. Portanto, a solução que assumimos é válida e representa uma onda eletromagnética propagando-se na direção .

Resposta

A equação da onda para o campo elétrico é:
e uma solução possível é:
com .

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