Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de
e
ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de
e
ao longo da direção
.
Escreva as equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas.
Escreva as equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente escrever as Equações de Maxwell em um meio sem correntes e cargas, e depois derivar a equação da onda para a luz a partir delas. A matéria envolvida aqui é eletromagnetismo, especificamente as Equações de Maxwell. Vamos precisar lembrar dessas equações e como aplicá-las para derivar a equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as Equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas. Isso significa que a densidade de carga elétrica
e a densidade de corrente
são zero. As Equações de Maxwell ficam assim:
Aqui,
é o campo elétrico e
é o campo magnético.
é a permeabilidade do vácuo e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos derivar a equação da onda para o campo elétrico
. Para isso, vamos aplicar o rotor (nabla cruz) na terceira equação de Maxwell:
Fazendo o rotor dos dois lados:
Passo 4
Vamos usar a identidade vetorial:
Como
em um meio livre, a primeira parte desaparece:
Passo 5
Agora, vamos substituir
da quarta equação de Maxwell:
Portanto,
Simplificando os sinais:
Passo 6
Essa é a equação da onda para o campo elétrico
. Podemos escrever de forma mais familiar:
Aqui, a velocidade da luz
está relacionada por:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, vamos achar as soluções dessa equação. Considerando que o campo elétrico é função de
e
ao longo da direção
, podemos assumir uma solução do tipo onda que se propaga na direção
:
onde
é a amplitude,
é o número de onda,
é a frequência angular, e
é o vetor unitário na direção
.
Passo 8
Substituindo essa solução na equação da onda, vamos verificar se satisfaz a equação:
Primeiro, a segunda derivada temporal:
E a segunda derivada espacial:
Substituindo na equação da onda:
que simplifica para:
Passo 9
Essa relação mostra a relação entre a frequência e o número de onda para ondas eletromagnéticas. Portanto, a solução que assumimos é válida e representa uma onda eletromagnética propagando-se na direção
.
Resposta
A equação da onda para o campo elétrico é:
e uma solução possível é:
com
.