O número de carros entrando em um estacionamento é uma variável aleatória com uma Distribuição de Poisson com uma média de quatro por hora. O estacionamento comporta apenas 12 carros.
A. Encontre a probabilidade de que o estacionamento encha na primeira hora (assumindo que todos os carros fiquem no estacionamento por mais de uma hora).
A. Encontre a probabilidade de que o estacionamento encha na primeira hora (assumindo que todos os carros fiquem no estacionamento por mais de uma hora).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o número de carros que entram em um estacionamento, que segue uma Distribuição de Poisson com média de 4 carros por hora. O estacionamento só comporta 12 carros. Precisamos encontrar a probabilidade de que o estacionamento fique cheio na primeira hora, assumindo que todos os carros ficam mais de uma hora lá. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de vezes que um evento ocorre em um intervalo de tempo ou espaço fixo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da Distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos; -
é a média de eventos no intervalo; -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828); -
é o fatorial de .
Passo 3
No nosso caso, queremos que o estacionamento fique cheio, ou seja, que exatamente 12 carros entrem na primeira hora. Aqui,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula da Distribuição de Poisson.
Passo 4
Calculando passo a passo:
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
E
(12 fatorial):
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Resposta
A probabilidade de que o estacionamento encha na primeira hora é aproximadamente 0,0641%.