O número de carros entrando em um estacionamento é uma variável aleatória com uma Distribuição de Poisson com uma média de quatro por hora. O estacionamento comporta apenas 12 carros.
A. Encontre a probabilidade de que o estacionamento encha na primeira hora (assumindo que todos os carros fiquem no estacionamento por mais de uma hora).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o número de carros que entram em um estacionamento, que segue uma Distribuição de Poisson com média de 4 carros por hora. O estacionamento só comporta 12 carros. Precisamos encontrar a probabilidade de que o estacionamento fique cheio na primeira hora, assumindo que todos os carros ficam mais de uma hora lá. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de vezes que um evento ocorre em um intervalo de tempo ou espaço fixo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos;
  • é a média de eventos no intervalo;
  • é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828);
  • é o fatorial de .

Passo 3

No nosso caso, queremos que o estacionamento fique cheio, ou seja, que exatamente 12 carros entrem na primeira hora. Aqui, e . Vamos substituir esses valores na fórmula da Distribuição de Poisson.

Passo 4

Calculando passo a passo:
P(12; 4) = 4^12 cdot e^-412!
Primeiro, calculamos 4^12 = 16.777.216 :
e^-4 approx 0,0183156
Depois, calculamos 12! = 479.001.600 :
E (12 fatorial):

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula:
P(12; 4) = 16.777.216 times 0,0183156479.001.600 approx 307.705,67479.001.600 approx 0,000641

Resposta

A probabilidade de que o estacionamento encha na primeira hora é aproximadamente 0,0641%.

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