O número médio de veículos que chegam a um cruzamento sob certas condições é constante, mas os veículos chegam independentemente e o número real que chega em qualquer intervalo de tempo é determinado pelo acaso. A taxa média na qual os veículos chegam ao cruzamento é de 360 veículos por hora. Os semáforos neste cruzamento passam por um ciclo completo em 40 segundos. Durante o sinal verde, apenas sete veículos podem passar pelo cruzamento.
C. Qual é a probabilidade de que exatamente oito veículos cheguem durante um ciclo, de modo que um veículo seja retido para o próximo ciclo (assumindo que não houve retenções do ciclo anterior)?
C. Qual é a probabilidade de que exatamente oito veículos cheguem durante um ciclo, de modo que um veículo seja retido para o próximo ciclo (assumindo que não houve retenções do ciclo anterior)?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um cruzamento onde os carros chegam de forma contínua e aleatória, com uma taxa média de 360 veículos por hora. O semáforo completa um ciclo em 40 segundos, e durante o sinal verde, só 7 veículos conseguem passar. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 8 veículos chegarem durante um ciclo, fazendo com que 1 carro fique retido para o próximo ciclo?
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre o Processo de Poisson, que é usado para modelar eventos que acontecem de forma aleatória no tempo. Ele é perfeito para esse tipo de problema onde queremos saber a probabilidade de um certo número de carros chegarem em um intervalo de tempo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a taxa média de chegada de carros durante o ciclo de 40 segundos. Sabemos que a taxa é de 360 veículos por hora. Como uma hora tem 3600 segundos, a taxa por segundo é:
Agora, para 40 segundos, a taxa média de chegada (
) será:
Isso significa que, em média, esperamos 4 veículos chegarem durante um ciclo de 40 segundos.
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de exatamente 8 veículos chegarem nesse ciclo. Para isso, usamos a fórmula do Processo de Poisson:
Onde:
-
é a probabilidade de eventos ocorrerem em um intervalo, -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828), -
é a taxa média de ocorrência, -
é o fatorial de .
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular cada parte:
-
Calculando
: -
Calculando
: -
Calculando
:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores de volta na equação:
Primeiro, multiplicamos
:
Em seguida, dividimos por 40320:
Resposta
A probabilidade de exatamente oito veículos chegarem durante um ciclo de 40 segundos, fazendo com que um veículo seja retido para o próximo ciclo, é de aproximadamente 2,98%.