O número médio de veículos que chegam a um cruzamento sob certas condições é constante, mas os veículos chegam independentemente e o número real que chega em qualquer intervalo de tempo é determinado pelo acaso. A taxa média na qual os veículos chegam ao cruzamento é de 360 veículos por hora. Os semáforos neste cruzamento passam por um ciclo completo em 40 segundos. Durante o sinal verde, apenas sete veículos podem passar pelo cruzamento.
C. Qual é a probabilidade de que exatamente oito veículos cheguem durante um ciclo, de modo que um veículo seja retido para o próximo ciclo (assumindo que não houve retenções do ciclo anterior)?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um cruzamento onde os carros chegam de forma contínua e aleatória, com uma taxa média de 360 veículos por hora. O semáforo completa um ciclo em 40 segundos, e durante o sinal verde, só 7 veículos conseguem passar. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 8 veículos chegarem durante um ciclo, fazendo com que 1 carro fique retido para o próximo ciclo?
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre o Processo de Poisson, que é usado para modelar eventos que acontecem de forma aleatória no tempo. Ele é perfeito para esse tipo de problema onde queremos saber a probabilidade de um certo número de carros chegarem em um intervalo de tempo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a taxa média de chegada de carros durante o ciclo de 40 segundos. Sabemos que a taxa é de 360 veículos por hora. Como uma hora tem 3600 segundos, a taxa por segundo é:
lambdasegundo = 360 veículos3600 segundos = 0,1 veículos por segundo íí
Agora, para 40 segundos, a taxa média de chegada ( lambda = 0,1 times 40 = 4 veículos ) será:
í
Isso significa que, em média, esperamos 4 veículos chegarem durante um ciclo de 40 segundos.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de exatamente 8 veículos chegarem nesse ciclo. Para isso, usamos a fórmula do Processo de Poisson:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de eventos ocorrerem em um intervalo,
  • é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828),
  • é a taxa média de ocorrência,
  • é o fatorial de .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
P(8; 4) = e^-4 times 4^88!
Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando e^-4 approx 0,0183 :
    4^8 = 65536
  2. Calculando 8! = 40320 :
  3. Calculando :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores de volta na equação:
P(8; 4) = 0,0183 times 6553640320
Primeiro, multiplicamos 0,0183 times 65536 approx 1200 :
120040320 approx 0,0298
Em seguida, dividimos por 40320:

Resposta

A probabilidade de exatamente oito veículos chegarem durante um ciclo de 40 segundos, fazendo com que um veículo seja retido para o próximo ciclo, é de aproximadamente 2,98%.

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