O número de chamadas recebidas por uma central de atendimento segue uma distribuição de Poisson com uma média de 5 chamadas por minuto. Seja X a variável aleatória que representa o número de chamadas recebidas em um minuto.
Determine a função de probabilidade P(X=k), onde k é o número de chamadas recebidas em um minuto ( k=0,1,2, ldots ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o número de chamadas que uma central de atendimento recebe por minuto, que segue uma distribuição de Poisson. A média de chamadas é 5 por minuto. A gente quer descobrir a função de probabilidade $ P(X = k) $, que nos diz a probabilidade de receber exatamente $ k $ chamadas em um minuto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo de tempo fixo, quando esses eventos acontecem de forma independente e a uma taxa média constante. No nosso caso, os eventos são as chamadas recebidas por minuto.

Passo 3

A fórmula da função de probabilidade da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ \lambda $ é a média de ocorrências (no caso, 5 chamadas por minuto).
  • $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
  • $ k $ é o número de chamadas que queremos calcular a probabilidade.
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com $ \lambda = 5 $. Substituímos na equação:
lambda = 5
Isso significa que para qualquer número de chamadas $ k $, podemos usar essa fórmula para encontrar a probabilidade correspondente.

Resposta

A função de probabilidade é:
P(X = k) = e^-5 cdot 5^kk!

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