O tempo para que um sistema computacional execute determinada tarefa é uma variável aleatória com distribuição normal, com média 320 segundos e desvio padrão de 7 segundos.
Qual é a probabilidade de a tarefa ser executada entre 310 e 330 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o tempo que um sistema computacional leva para executar uma tarefa. Esse tempo é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal, ou seja, os tempos estão distribuídos de forma simétrica em torno da média. Aqui, a média é de 320 segundos e o desvio padrão é de 7 segundos. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de o sistema completar a tarefa entre 310 e 330 segundos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma distribuição normal. Ela é caracterizada pela média (μ) e pelo desvio padrão (σ). A média nos diz onde está o centro da distribuição, e o desvio padrão indica quão espalhados estão os dados em relação à média.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de o tempo de execução estar entre 310 e 330 segundos, vamos padronizar esses valores. Isso significa converter esses tempos para a escala da distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1.
A fórmula para padronizar um valor $ X $ é:
X
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos padronizar,
  • $ \mu $ é a média,
  • $ \sigma $ é o desvio padrão.

Passo 4

Vamos calcular o valor $ Z $ para 310 segundos:
Z
E para 330 segundos:
Z1 = 310 - 3207 = -107 approx -1,43

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ Z $ estar entre -1,43 e 1,43 na distribuição normal padrão. Isso corresponde à probabilidade de o tempo de execução estar entre 310 e 330 segundos.

Passo 6

Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística, encontramos as probabilidades correspondentes a $ Z_1 $ e $ Z_2 $:
  • $ P(Z < -1,43) \approx 0,0764 $
  • $ P(Z < 1,43) \approx 0,9236 $

Passo 7

Para encontrar a probabilidade entre esses dois valores de $ Z $, subtraímos as duas probabilidades:
Z
P(-1,43 < Z < 1,43) = P(Z < 1,43) - P(Z < -1,43)

Resposta

A probabilidade de a tarefa ser executada entre 310 e 330 segundos é de aproximadamente 84,72%.

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