O tempo para que um sistema computacional execute determinada tarefa é uma variável aleatória com distribuição normal, com média 320 segundos e desvio padrão de 7 segundos.
Qual é a probabilidade de a tarefa ser executada entre 310 e 330 segundos?
Qual é a probabilidade de a tarefa ser executada entre 310 e 330 segundos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o tempo que um sistema computacional leva para executar uma tarefa. Esse tempo é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal, ou seja, os tempos estão distribuídos de forma simétrica em torno da média. Aqui, a média é de 320 segundos e o desvio padrão é de 7 segundos. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de o sistema completar a tarefa entre 310 e 330 segundos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma distribuição normal. Ela é caracterizada pela média (μ) e pelo desvio padrão (σ). A média nos diz onde está o centro da distribuição, e o desvio padrão indica quão espalhados estão os dados em relação à média.
Passo 3
Para encontrar a probabilidade de o tempo de execução estar entre 310 e 330 segundos, vamos padronizar esses valores. Isso significa converter esses tempos para a escala da distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1.
A fórmula para padronizar um valor $ X $ é:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos padronizar,
- $ \mu $ é a média,
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
Passo 4
Vamos calcular o valor $ Z $ para 310 segundos:
E para 330 segundos:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ Z $ estar entre -1,43 e 1,43 na distribuição normal padrão. Isso corresponde à probabilidade de o tempo de execução estar entre 310 e 330 segundos.
Passo 6
Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística, encontramos as probabilidades correspondentes a $ Z_1 $ e $ Z_2 $:
- $ P(Z < -1,43) \approx 0,0764 $
- $ P(Z < 1,43) \approx 0,9236 $
Passo 7
Para encontrar a probabilidade entre esses dois valores de $ Z $, subtraímos as duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de a tarefa ser executada entre 310 e 330 segundos é de aproximadamente 84,72%.