O número médio de veículos que chegam a um cruzamento sob certas condições é constante, mas os veículos chegam independentemente e o número real que chega em qualquer intervalo de tempo é determinado pelo acaso. A taxa média na qual os veículos chegam ao cruzamento é de 360 veículos por hora. Os semáforos neste cruzamento passam por um ciclo completo em 40 segundos. Durante o sinal verde, apenas sete veículos podem passar pelo cruzamento.
B. Qual é a probabilidade de que menos de sete veículos cheguem durante um ciclo?

Passo 1

Ok, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um cruzamento onde veículos chegam a uma taxa média de 360 por hora. O ciclo do semáforo dura 40 segundos, e durante o sinal verde, apenas sete veículos podem passar. Queremos descobrir a probabilidade de que menos de sete veículos cheguem nesse ciclo de 40 segundos. Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Poisson, que é ótima para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo quando esses eventos acontecem de forma independente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a taxa média de chegada de veículos durante o ciclo de 40 segundos. Sabemos que a taxa é de 360 veículos por hora. Como queremos a taxa para 40 segundos, vamos converter o tempo para horas:
Taxa por ciclo = 360 , veículos/hora times 40 , segundos3600 , segundos/hora = 4 , veículos por ciclo íí
Então, a taxa média ( ) é 4 veículos por ciclo.

Passo 3

Agora, vamos usar a distribuição de Poisson para encontrar a probabilidade de que menos de sete veículos cheguem durante o ciclo. A distribuição de Poisson é dada por:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de exatamente veículos chegarem,
  • é a taxa média (neste caso, 4),
  • é a base do logaritmo natural,
  • é o fatorial de .

Passo 4

Queremos a probabilidade de que menos de sete veículos cheguem, ou seja, P(X < 7) = sumk=0^6 e^-4 times 4^kk! . Isso significa que precisamos somar as probabilidades de , , até :

Passo 5

Vamos calcular cada termo individualmente:
P(X=0) = e^-4 times 4^00! = e^-4 times 1 = e^-4
P(X=1) = e^-4 times 4^11! = e^-4 times 4
P(X=2) = e^-4 times 4^22! = e^-4 times 8
P(X=3) = e^-4 times 4^33! = e^-4 times 646
P(X=4) = e^-4 times 4^44! = e^-4 times 25624
P(X=5) = e^-4 times 4^55! = e^-4 times 1024120
P(X=6) = e^-4 times 4^66! = e^-4 times 4096720

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter P(X < 7) = e^-4 times (1 + 4 + 8 + 646 + 25624 + 1024120 + 4096720) :

Passo 7

Calculando os valores numéricos:
1 + 4 + 8 + 646 approx 1 + 4 + 8 + 10.6667 = 23.6667
25624 approx 10.6667
1024120 approx 8.5333
4096720 approx 5.6889
Somando todos: 23.6667 + 10.6667 + 8.5333 + 5.6889 approx 48.5556
Então,
P(X < 7) = e^-4 times 48.5556
Sabemos que P(X < 7) approx 0.0183 times 48.5556 approx 0.887 , então:

Resposta

A probabilidade de que menos de sete veículos cheguem durante um ciclo de 40 segundos é aproximadamente 88,7%.

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