Um número natural é escolhido ao acaso entre os números de 1 a 100, e depois dividido por 5. A probabilidade de que o resto da divisão seja igual a 1 é de?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! O enunciado nos pede para encontrar a chance de, ao escolhermos um número entre 1 e 100 e dividirmos por 5, o resto dessa divisão ser igual a 1. Para isso, vamos precisar entender como funciona a divisão com resto e os conceitos básicos de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o total de números possíveis que podemos escolher. Como estamos escolhendo um número de 1 a 100, temos 100 números no total.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar quantos desses números deixam resto igual a 1 quando divididos por 5. Quando dividimos um número por 5, ele pode deixar resto 0, 1, 2, 3 ou 4. Queremos apenas os que deixam resto 1.
Passo 4
Para achar esses números, vamos pensar em uma forma geral. Números que deixam resto 1 quando divididos por 5 têm a forma:
onde $ k $ é um número inteiro não negativo.
Vamos listar alguns para entender melhor:
- Para $ k = 0 $: $ 5 \times 0 + 1 = 1 $
- Para $ k = 1 $: $ 5 \times 1 + 1 = 6 $
- Para $ k = 2 $: $ 5 \times 2 + 1 = 11 $
- E assim por diante, até chegar perto de 100.
Passo 5
Agora vamos contar quantos desses números existem entre 1 e 100. A última vez que isso acontece é quando:
Resolvendo para $ k $:
Como $ k $ precisa ser inteiro, o maior valor possível é 19. Portanto, existem 20 números que deixam resto 1 quando divididos por 5 (de $ k = 0 $ a $ k = 19 $).
Passo 6
Finalmente, a probabilidade de escolhermos um desses números é a razão entre o número de casos favoráveis e o total de casos possíveis:
Resposta
A probabilidade de que o resto da divisão seja igual a 1 é 0,2 ou 20%.