Uma partícula de massa m=2 / 3 Kg move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por F(t)=8 t^2 i+ (12 t-16 / 3) jmath-4 t k (com unidade de Newton). Assumindo que em t=0 s a partícula está localizada cm r0=3 i-jmath+4 k (com unidade de metro) e tem velocidade v0=6 imath+15 jmath-8k, ache a posição em qualquer tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física envolvendo movimento de uma partícula sob uma força que depende do tempo. O que precisamos usar aqui são os conceitos de segunda lei de Newton e integração para achar a posição da partícula em qualquer tempo $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que relaciona força ($ \vec{F} F m m çã \vec{a} $):
a
Aqui, a aceleração é $ \vec{a}(t) = \frac{\vec{F}(t)}{m} $.

Passo 3

Vamos calcular a aceleração dividindo cada componente da força pela massa $ m = \frac{2}{3} , Kg $:
m = 23 , Kg
Simplificando:
a(t) = 8 t^223 i + 12 t - 16323 jmath - 4 t23 k

Passo 4

Agora vamos achar a velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo. A fórmula geral é:
v(t) = v0 + integral a(t) , dt
Onde $ \vec{v}_0 = 6 \hat{\imath} + 15 \hat{\jmath} - 8 \hat{k} $ é a velocidade inicial.

Passo 5

Integrando cada componente da aceleração:
  • Componente $ \hat{\mathrm{i}} $:
i
  • Componente $ \hat{\jmath} $:
integral 12 t^2 , dt = 4 t^3
  • Componente $ \hat{k} $:
jmath
Assim, a velocidade fica:
integral (18 t - 24) , dt = 9 t^2 - 24 t

Passo 6

Agora vamos achar a posição integrando a velocidade em relação ao tempo:
r(t) = r0 + integral v(t) , dt
Onde $ \vec{r}_0 = 3 \hat{i} - \hat{\jmath} + 4 \hat{k} $ é a posição inicial.

Passo 7

Integrando cada componente da velocidade:
  • Componente $ \hat{\imath} $:
imath
  • Componente $ \hat{\jmath} $:
integral (6 + 4 t^3) , dt = 6 t + t^4
  • Componente $ \hat{k} $:
jmath
Então, a posição fica:
integral (15 + 9 t^2 - 24 t) , dt = 15 t + 3 t^3 - 12 t^2

Resposta

A posição da partícula em qualquer tempo $ t $ é:
t

Exercícios relacionados