Uma partícula de massa
move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por
(com unidade de Newton). Assumindo que em
a partícula está localizada
(com unidade de metro) e tem velocidade
, ache a posição em qualquer tempo t.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física envolvendo movimento de uma partícula sob uma força que depende do tempo. O que precisamos usar aqui são os conceitos de segunda lei de Newton e integração para achar a posição da partícula em qualquer tempo $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que relaciona força ($ \vec{F}
m
\vec{a} $):
Aqui, a aceleração é $ \vec{a}(t) = \frac{\vec{F}(t)}{m} $.
Passo 3
Vamos calcular a aceleração dividindo cada componente da força pela massa $ m = \frac{2}{3} , Kg $:
Simplificando:
Passo 4
Agora vamos achar a velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo. A fórmula geral é:
Onde $ \vec{v}_0 = 6 \hat{\imath} + 15 \hat{\jmath} - 8 \hat{k} $ é a velocidade inicial.
Passo 5
Integrando cada componente da aceleração:
- Componente $ \hat{\mathrm{i}} $:
- Componente $ \hat{\jmath} $:
- Componente $ \hat{k} $:
Assim, a velocidade fica:
Passo 6
Agora vamos achar a posição integrando a velocidade em relação ao tempo:
Onde $ \vec{r}_0 = 3 \hat{i} - \hat{\jmath} + 4 \hat{k} $ é a posição inicial.
Passo 7
Integrando cada componente da velocidade:
- Componente $ \hat{\imath} $:
- Componente $ \hat{\jmath} $:
- Componente $ \hat{k} $:
Então, a posição fica:
Resposta
A posição da partícula em qualquer tempo $ t $ é: