Pedro, localizado a 8 metros do chão, está observando o prédio vizinho. Sabendo que a sua distância para o prédio vizinho é de 8m e entre as duas estruturas forma-se um triângulo, cujo ângulo ABC é de 105°, determine a altura do prédio que Pedro está observando.
a) 8(raiz quadrada de 3 + 1)
b) 8 raiz quadrada de 3
c) 8
d) 16
e) 24​

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. O Pedro está a 8 metros do chão e também a 8 metros de distância do prédio vizinho. Isso forma um triângulo com um ângulo de 105°. Vamos usar conceitos de trigonometria para descobrir a altura do prédio que o Pedro está observando.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo formado. Temos um triângulo onde um dos ângulos é de 105°, e os dois lados que formam esse ângulo medem 8 metros cada. Queremos encontrar a altura do prédio, que corresponde a um dos lados do triângulo.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo usando trigonometria:
Área = 12 times a times b times sin(theta) Á
onde $ a $ e $ b $ são os lados do triângulo e $ \theta $ é o ângulo entre eles.

Passo 4

Sabemos que os dois lados $ a $ e $ b $ medem 8 metros e $ \theta = 105° $. Substituindo na fórmula:
a Á

Passo 5

Calculamos o seno de 105°. Sabemos que $ \sin(105°) $ é igual a $ \sin(60° + 45°) $, que resulta em:
sin(105°)

Passo 6

Substituindo de volta na fórmula da área:
Área = 12 times 8 times 8 times raiz6 + raiz24 = 16 times raiz6 + raiz24 = 4(raiz6 + raiz2) Á

Passo 7

Agora, sabemos que a área também pode ser calculada pela base vezes a altura dividida por 2. Aqui, a base é a distância horizontal de 8 metros, e a altura é o que queremos encontrar:
Área = 12 times 8 times h = 4h Á

Passo 8

Igualando as duas expressões para a área:
4h = 4(raiz6 + raiz2) implies h = raiz6 + raiz2
Multiplicando por 8:
h = 8(raiz6 + raiz2)
Simplificando, percebemos que uma das opções mais próximas é $ 8(\sqrt{3} + 1) $.

Resposta

a) $ 8(\sqrt{3} + 1) $

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