Pedro, localizado a 8 metros do chão, está observando o prédio vizinho. Sabendo que a sua distância para o prédio vizinho é de 8m e entre as duas estruturas forma-se um triângulo, cujo ângulo ABC é de 105°, determine a altura do prédio que Pedro está observando.
a) 8(raiz quadrada de 3 + 1)
b) 8 raiz quadrada de 3
c) 8
d) 16
e) 24
a) 8(raiz quadrada de 3 + 1)
b) 8 raiz quadrada de 3
c) 8
d) 16
e) 24
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. O Pedro está a 8 metros do chão e também a 8 metros de distância do prédio vizinho. Isso forma um triângulo com um ângulo de 105°. Vamos usar conceitos de trigonometria para descobrir a altura do prédio que o Pedro está observando.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o triângulo formado. Temos um triângulo onde um dos ângulos é de 105°, e os dois lados que formam esse ângulo medem 8 metros cada. Queremos encontrar a altura do prédio, que corresponde a um dos lados do triângulo.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo usando trigonometria:
onde $ a $ e $ b $ são os lados do triângulo e $ \theta $ é o ângulo entre eles.
Passo 4
Sabemos que os dois lados $ a $ e $ b $ medem 8 metros e $ \theta = 105° $. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Calculamos o seno de 105°. Sabemos que $ \sin(105°) $ é igual a $ \sin(60° + 45°) $, que resulta em:
Passo 6
Substituindo de volta na fórmula da área:
Passo 7
Agora, sabemos que a área também pode ser calculada pela base vezes a altura dividida por 2. Aqui, a base é a distância horizontal de 8 metros, e a altura é o que queremos encontrar:
Passo 8
Igualando as duas expressões para a área:
Multiplicando por 8:
Simplificando, percebemos que uma das opções mais próximas é $ 8(\sqrt{3} + 1) $.
Resposta
a) $ 8(\sqrt{3} + 1) $