Um Pêndulo é imerso em um meio contendo um fluído viscoso e executa um movimento hamônico amortecido no regime subcrítico( Oscilatório amortecido), conforme a equação horária:
Sabendo que o pêndulo possui velocidade inicial nula no instante
, determine a frequência natural de oscilação
(ver definição) do pêndulo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pêndulo que está se movendo num fluido viscoso, fazendo oscilações amortecidas. A equação que descreve o movimento é:
Nossa missão aqui é encontrar a frequência natural de oscilação desse pêndulo, que a gente chama de
. Para isso, vamos precisar entender algumas coisas sobre movimentos oscilatórios amortecidos e como a frequência natural se relaciona com a frequência de oscilação observada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os componentes da nossa equação. Ela tem duas partes principais: a exponencial
e o cosseno
. A parte exponencial representa o amortecimento do movimento, ou seja, como a amplitude diminui com o tempo devido à resistência do fluido. O cosseno representa a oscilação em si, com uma certa frequência.
Passo 3
A frequência que aparece dentro do cosseno, que aqui é 4 (pois está na forma
), é chamada de frequência amortecida, representada por
. Então, sabemos que:
Passo 4
Agora, para encontrar a frequência natural
, precisamos lembrar da relação entre a frequência amortecida e a frequência natural em um sistema oscilatório amortecido. A relação é dada por:
Aqui,
é a taxa de amortecimento, que está relacionada com o termo que multiplica o tempo no exponencial, nesse caso, 3.
Passo 5
Sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar
:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 7
Em seguida, adicionamos 9 aos dois lados da equação para isolar
:
Passo 8
Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A frequência natural de oscilação do pêndulo é
.