Um Pêndulo é imerso em um meio contendo um fluído viscoso e executa um movimento hamônico amortecido no regime subcrítico( Oscilatório amortecido), conforme a equação horária:
theta(t)=4 e^-3 t cos (4 t+phi)
Sabendo que o pêndulo possui velocidade inicial nula no instante t=0, determine a frequência natural de oscilação omega0 (ver definição) do pêndulo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pêndulo que está se movendo num fluido viscoso, fazendo oscilações amortecidas. A equação que descreve o movimento é:
theta(t) = 4 e^-3 t cos (4 t + phi)
Nossa missão aqui é encontrar a frequência natural de oscilação desse pêndulo, que a gente chama de omega0. Para isso, vamos precisar entender algumas coisas sobre movimentos oscilatórios amortecidos e como a frequência natural se relaciona com a frequência de oscilação observada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da nossa equação. Ela tem duas partes principais: a exponencial e^-3 t e o cosseno cos(4 t + phi). A parte exponencial representa o amortecimento do movimento, ou seja, como a amplitude diminui com o tempo devido à resistência do fluido. O cosseno representa a oscilação em si, com uma certa frequência.

Passo 3

A frequência que aparece dentro do cosseno, que aqui é 4 (pois está na forma cos(4 t + phi)), é chamada de frequência amortecida, representada por omegad. Então, sabemos que:
omegad = 4 , rad/s

Passo 4

Agora, para encontrar a frequência natural omega0, precisamos lembrar da relação entre a frequência amortecida e a frequência natural em um sistema oscilatório amortecido. A relação é dada por:
omegad = raizomega0^2 - gamma^2
Aqui, gamma é a taxa de amortecimento, que está relacionada com o termo que multiplica o tempo no exponencial, nesse caso, 3.

Passo 5

Sabemos que gamma = 3 , rad/s e omegad = 4 , rad/s. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar omega0:
4 = raizomega0^2 - 3^2

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para omega0. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
4^2 = omega0^2 - 3^2 16 = omega0^2 - 9

Passo 7

Em seguida, adicionamos 9 aos dois lados da equação para isolar omega0^2:
16 + 9 = omega0^2 25 = omega0^2

Passo 8

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar omega0:
omega0 = raiz25 omega0 = 5 , rad/s

Resposta

A frequência natural de oscilação do pêndulo é omega0 = 5 , rad/s.

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