Um pequeno segmento de fio contém 10 nC de carga.
(a) O segmento é reduzido para um terço do seu comprimento original. Qual é a razão
, onde
e
são as densidades linear de carga final e inicial?
(b) Suponha que o segmento original de fio seja esticado 10 vezes seu comprimento original. Quanta carga deve ser adicionada ao fio para manter a densidade de carga linear inalterada?
(a) O segmento é reduzido para um terço do seu comprimento original. Qual é a razão
(b) Suponha que o segmento original de fio seja esticado 10 vezes seu comprimento original. Quanta carga deve ser adicionada ao fio para manter a densidade de carga linear inalterada?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre densidade linear de carga em um fio. A gente vai trabalhar com conceitos de eletrostática, especificamente como a densidade de carga se comporta quando o comprimento do fio muda. Vamos precisar entender o que é densidade linear de carga e como ela se relaciona com o comprimento do fio e a quantidade total de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre densidade linear de carga. A densidade linear de carga, denotada por
, é a quantidade de carga elétrica por unidade de comprimento de um fio. A fórmula é:
Onde:
-
é a carga total no fio. -
é o comprimento do fio.
Passo 3
Vamos resolver a parte (a) do exercício. Inicialmente, temos um fio com carga total
e comprimento
. O fio é reduzido para um terço do seu comprimento original, ou seja, o novo comprimento
. Queremos encontrar a razão entre a densidade linear de carga final
e a inicial
.
Passo 4
Usando a fórmula da densidade linear de carga para o estado inicial:
E após a redução do comprimento:
Como a carga total no fio não mudou durante a redução (apenas o comprimento foi alterado), temos
.
Passo 5
Substituindo
na expressão para
, temos:
Portanto, a densidade linear de carga final é três vezes a densidade inicial.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). O fio original, com comprimento
e carga
, é esticado para 10 vezes seu comprimento original, ou seja,
. Queremos manter a densidade de carga linear inalterada, ou seja,
.
Passo 7
Como a densidade deve permanecer a mesma, temos:
Substituindo
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então, para manter a densidade de carga igual, precisamos que a carga total seja 10 vezes a carga inicial.
Resposta
(a) A razão
é
.
(b) Deve-se adicionar uma carga de
ao fio para manter a densidade de carga linear inalterada.