Um pequeno segmento de fio contém 10 nC de carga.
(a) O segmento é reduzido para um terço do seu comprimento original. Qual é a razão lambdaf / lambdai, onde lambdaf e lambdai são as densidades linear de carga final e inicial?
(b) Suponha que o segmento original de fio seja esticado 10 vezes seu comprimento original. Quanta carga deve ser adicionada ao fio para manter a densidade de carga linear inalterada?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre densidade linear de carga em um fio. A gente vai trabalhar com conceitos de eletrostática, especificamente como a densidade de carga se comporta quando o comprimento do fio muda. Vamos precisar entender o que é densidade linear de carga e como ela se relaciona com o comprimento do fio e a quantidade total de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre densidade linear de carga. A densidade linear de carga, denotada por lambda, é a quantidade de carga elétrica por unidade de comprimento de um fio. A fórmula é:
lambda = QL
Onde:
  • Q é a carga total no fio.
  • L é o comprimento do fio.

Passo 3

Vamos resolver a parte (a) do exercício. Inicialmente, temos um fio com carga total Qi = 10,nC e comprimento Li. O fio é reduzido para um terço do seu comprimento original, ou seja, o novo comprimento Lf = Li3. Queremos encontrar a razão entre a densidade linear de carga final lambdaf e a inicial lambdai.

Passo 4

Usando a fórmula da densidade linear de carga para o estado inicial:
lambdai = QiLi
E após a redução do comprimento:
lambdaf = QfLf
Como a carga total no fio não mudou durante a redução (apenas o comprimento foi alterado), temos Qf = Qi = 10,nC.

Passo 5

Substituindo Lf = Li3 na expressão para lambdaf, temos:
lambdaf = QiLi3 = 3QiLi = 3lambdai
Portanto, a densidade linear de carga final é três vezes a densidade inicial.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). O fio original, com comprimento Li e carga Qi = 10,nC, é esticado para 10 vezes seu comprimento original, ou seja, Lf = 10Li. Queremos manter a densidade de carga linear inalterada, ou seja, lambdaf = lambdai.

Passo 7

Como a densidade deve permanecer a mesma, temos:
lambdaf = lambdai implies QfLf = QiLi
Substituindo Lf = 10Li:
Qf10Li = QiLi

Passo 8

Resolvendo para Qf:
Qf = 10Qi
Então, para manter a densidade de carga igual, precisamos que a carga total seja 10 vezes a carga inicial.

Resposta

(a) A razão lambdaf / lambdai é 3.
(b) Deve-se adicionar uma carga de 90,nC ao fio para manter a densidade de carga linear inalterada.

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