Percebendo a média
dos tempos observados, o corredor pretende realizar o percurso mais
vezes com o tempo exatamente igual à média, cada vez, para que o desvio padrão, de todos os tempos observados, diminua 1 unidade. Dessa forma,
deve ser igual a:
A) 16 .
B) 20 .
C) 24 .
D) 28 .
E) 32 .
A) 16 .
B) 20 .
C) 24 .
D) 28 .
E) 32 .
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: um corredor tem uma média
dos tempos observados. Ele planeja correr mais
vezes, sempre com o tempo igual à média
. O objetivo é que o desvio padrão de todos os tempos observados diminua em 1 unidade. Para resolver isso, precisamos entender como adicionar valores iguais à média afeta o desvio padrão. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre média e desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o desvio padrão (
) mede a dispersão dos dados em relação à média. Quando adicionamos valores iguais à média, estamos adicionando dados que não aumentam a variação, pois estão exatamente no centro da distribuição.
Passo 3
Vamos considerar que inicialmente temos
observações com média
e desvio padrão
. O desvio padrão é calculado pela raiz quadrada da variância (
), que é a média dos quadrados das diferenças entre cada observação e a média.
Passo 4
Ao adicionar
observações com valor igual à média
, a nova média permanece
, já que os novos valores são iguais à média original. No entanto, como estamos adicionando valores que não aumentam a variação, o desvio padrão diminui.
Passo 5
A fórmula para a nova variância após a adição de
valores iguais à média é:
Queremos que o novo desvio padrão seja
, então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Igualando as duas expressões para a nova variância:
Vamos resolver para
:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agrupando os termos com
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
Portanto, o valor de
que satisfaz a condição é 24, correspondendo à alternativa C).