Percebendo a média x dos tempos observados, o corredor pretende realizar o percurso mais n vezes com o tempo exatamente igual à média, cada vez, para que o desvio padrão, de todos os tempos observados, diminua 1 unidade. Dessa forma, n deve ser igual a:
A) 16 .
B) 20 .
C) 24 .
D) 28 .
E) 32 .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: um corredor tem uma média dos tempos observados. Ele planeja correr mais vezes, sempre com o tempo igual à média . O objetivo é que o desvio padrão de todos os tempos observados diminua em 1 unidade. Para resolver isso, precisamos entender como adicionar valores iguais à média afeta o desvio padrão. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre média e desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o desvio padrão ( ) mede a dispersão dos dados em relação à média. Quando adicionamos valores iguais à média, estamos adicionando dados que não aumentam a variação, pois estão exatamente no centro da distribuição.

Passo 3

Vamos considerar que inicialmente temos observações com média e desvio padrão . O desvio padrão é calculado pela raiz quadrada da variância ( ), que é a média dos quadrados das diferenças entre cada observação e a média.

Passo 4

Ao adicionar observações com valor igual à média , a nova média permanece , já que os novos valores são iguais à média original. No entanto, como estamos adicionando valores que não aumentam a variação, o desvio padrão diminui.

Passo 5

A fórmula para a nova variância após a adição de sigmanova^2 = m cdot sigma^2m + n valores iguais à média é:
sigmanova = sigma - 1
Queremos que o novo desvio padrão seja sigmanova^2 = (sigma - 1)^2 , então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Igualando as duas expressões para a nova variância:
m cdot sigma^2m + n = (sigma - 1)^2
Vamos resolver para m cdot sigma^2 = (m + n)(sigma - 1)^2 :
m cdot sigma^2 = (m + n)(sigma^2 - 2sigma + 1)
Expandindo o lado direito:
m cdot sigma^2 = m cdot sigma^2 - 2msigma + m + nsigma^2 - 2nsigma + n
0 = -2msigma + m + nsigma^2 - 2nsigma + n
Subtraindo n(sigma^2 - 2sigma + 1) = 2msigma - m de ambos os lados:
n(sigma - 1)^2 = m(2sigma - 1)
Agrupando os termos com n = m(2sigma - 1)(sigma - 1)^2 :
Finalmente, isolando :

Resposta

Portanto, o valor de que satisfaz a condição é 24, correspondendo à alternativa C).

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