O peso de uma amêndoa é normalmente distribuído com média de 0.05 onças e desvio-padrão de 0.015 onças. Use a tabela da distribuição N(0,1) para calcular a probabilidade de um pacote de 100 amêndoas ter, em média, peso entre 0.048 e 0.053 onças.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre probabilidade usando a distribuição normal. A gente tem que calcular a chance de, num pacote com 100 amêndoas, a média do peso estar entre 0.048 e 0.053 onças. Pra isso, vamos usar conceitos de média, desvio-padrão e a tabela da distribuição normal padrão, que é a N(0,1).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição da média das amêndoas. Sabemos que cada amêndoa tem peso normalmente distribuído com média mu = 0.05 onças e desvio-padrão sigma = 0.015 onças. Quando a gente tem uma amostra de 100 amêndoas, a média dessa amostra também segue uma distribuição normal.

Passo 3

A média da distribuição das médias ( X) vai ser igual à média individual, ou seja, muX = mu = 0.05 onças. O desvio-padrão da média ( sigmaX) é o desvio-padrão individual dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Então:
sigmaX = sigmaraizn = 0.015raiz100 = 0.01510 = 0.0015 onças ç

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de a média estar entre 0.048 e 0.053 onças. Ou seja, queremos calcular P(0.048 <= X <= 0.053). Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore z:
z = X - muXsigmaX

Passo 5

Calculando o z para 0.048 onças:
z1 = 0.048 - 0.050.0015 = -0.0020.0015 approx -1.333
E para 0.053 onças:
z2 = 0.053 - 0.050.0015 = 0.0030.0015 = 2

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses escores z na tabela da distribuição normal padrão. A probabilidade de z <= 2 é aproximadamente 0.9772, e a de z <= -1.333 é aproximadamente 0.0918.

Passo 7

Para encontrar a probabilidade entre z1 e z2, subtraímos as duas probabilidades:
P(-1.333 <= Z <= 2) = P(Z <= 2) - P(Z <= -1.333) = 0.9772 - 0.0918 = 0.8854

Resposta

A probabilidade de um pacote de 100 amêndoas ter, em média, peso entre 0.048 e 0.053 onças é de aproximadamente 88,54%.

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