Os pesos das peças produzidas por uma máquina (produção de 5.000 peças/dia) seguem distribuição normal com uma média de 20 g e desvio padrão de . Foi selecionada uma amostra 16 peças:
a) Quais serão a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias?
b) Qual a probabilidade de encontrarmos uma peça escolhida dessa produção com dimensão entre 19,3g e ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente está lidando com a distribuição normal, que é super comum em estatística para modelar coisas como o peso das peças produzidas por uma máquina. Aqui, a média do peso é de 20 gramas e o desvio padrão é de . Vamos precisar entender sobre distribuição amostral das médias e calcular probabilidades usando a distribuição normal. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias.
Quando a gente tem uma distribuição normal com média e desvio padrão , e pega uma amostra de tamanho , a média das amostras também segue uma distribuição normal.
Média da distribuição amostral ():
A média das médias amostrais é igual à média da população.
Desvio padrão da distribuição amostral ():
O desvio padrão das médias amostrais é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): calcular a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ter um peso entre 19,3g e 20,5g.
Aqui a gente usa a distribuição normal padrão. Primeiro, vamos transformar os valores de peso em escores z, que nos dizem quantos desvios padrão um valor está afastado da média.
Calculando o escore z para 19,3g:
Calculando o escore z para 20,5g:
Agora, precisamos encontrar a probabilidade entre e . Isso geralmente se faz usando tabelas da distribuição normal ou uma calculadora estatística.
Usando a tabela Z:
Então, a probabilidade de Z estar entre -0,56 e 0,4 é:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
a) A média da distribuição amostral é e o desvio padrão é .
b) A probabilidade de encontrar uma peça com peso entre e é aproximadamente .