Os pesos das peças produzidas por uma máquina (produção de 5.000 peças/dia) seguem distribuição normal com uma média de 20 g e desvio padrão de . Foi selecionada uma amostra 16 peças:
a) Quais serão a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias?
b) Qual a probabilidade de encontrarmos uma peça escolhida dessa produção com dimensão entre 19,3g e ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente está lidando com a distribuição normal, que é super comum em estatística para modelar coisas como o peso das peças produzidas por uma máquina. Aqui, a média do peso é de 20 gramas e o desvio padrão é de . Vamos precisar entender sobre distribuição amostral das médias e calcular probabilidades usando a distribuição normal. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias.
Quando a gente tem uma distribuição normal com média e desvio padrão , e pega uma amostra de tamanho , a média das amostras também segue uma distribuição normal.
Média da distribuição amostral ( ):
A média das médias amostrais é igual à média da população.
Desvio padrão da distribuição amostral ( ):
O desvio padrão das médias amostrais é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): calcular a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ter um peso entre 19,3g e 20,5g.
Aqui a gente usa a distribuição normal padrão. Primeiro, vamos transformar os valores de peso em escores z, que nos dizem quantos desvios padrão um valor está afastado da média.
Calculando o escore z para 19,3g:
Calculando o escore z para 20,5g:
Agora, precisamos encontrar a probabilidade entre e . Isso geralmente se faz usando tabelas da distribuição normal ou uma calculadora estatística.
Usando a tabela Z:
Então, a probabilidade de Z estar entre -0,56 e 0,4 é:
Convertendo para porcentagem:

Resposta

a) A média da distribuição amostral é e o desvio padrão é .
b) A probabilidade de encontrar uma peça com peso entre e é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere uma população formada por cinco números: e 11 . Tome todas as possíveis amostras de tamanho , com reposição, e determine a média de cada amostra:
a) Determine a média e a variância populacionais;
b) Determine a média e a variância da distribuição amostral das médias;
c) Considere a média populacional do item (b). Suponha que você deseja estimá-la por meio de uma amostra e que tenha coletado em uma pesquisa a amostra . O que você entende sobre a diferença entre a média dessa amostra e média populacional? Qual a probabilidade dessa diferença ocorrer?
Para estimar o tempo médio que funcionários levam para executar uma tarefa em certa empresa, um pesquisador escolheu uma amostra aleatória de 25 indivíduos, obtendo uma média de 400 e variância de 49, em segundos. Suponha que a execução de tarefas na população seja distribuída normalmente.
a) Quais são as estimativas, pontual e intervalar, para a média em estudo? Use .
b) Com que confiança dir-se-ia que a média é de ?
Se dos aparelhos de televisão produzidos por uma empresa são defeituosos, qual a probabilidade de que, numa amostra aleatória de 200 aparelhos produzidos por essa empresa:
a) No máximo seja defeituoso?
b) A proporção de aparelhos defeituosos esteja entre e ?
Da produção diária de uma fábrica de lâmpadas, retira-se uma amostra aleatória de 225 garrafas e obtém-se um conteúdo médio de 1.000 ml e desvio padrão é de 150 ml .
a) Qual a estimativa pontual para o conteúdo médio e desvio padrão de todas as garrafas (população)?
b) Qual o intervalo de confiança de para o conteúdo médio populacional?
c) Qual o tamanho do erro na estimativa acima?
d) Que tamanho deve ter a amostra para que o erro de estimativa seja no máximo de , com uma confiança de ?
e) É necessário supor que a população da qual a amostra foi extraída apresente distribuição normal? Por quê?