Considere uma população formada por cinco números: e 11 . Tome todas as possíveis amostras de tamanho , com reposição, e determine a média de cada amostra:
a) Determine a média e a variância populacionais;
b) Determine a média e a variância da distribuição amostral das médias;
c) Considere a média populacional do item (b). Suponha que você deseja estimá-la por meio de uma amostra e que tenha coletado em uma pesquisa a amostra . O que você entende sobre a diferença entre a média dessa amostra e média populacional? Qual a probabilidade dessa diferença ocorrer?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma população com os números 2, 3, 6, 8 e 11. A gente precisa tirar todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição (ou seja, podemos repetir números), e calcular a média de cada amostra.
Vamos usar conceitos de estatística como média e variância para resolver isso. Precisaremos entender como calcular essas medidas tanto para a população quanto para a distribuição das médias das amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis amostras de tamanho 2 com reposição. Como temos 5 números na população e estamos fazendo amostras com reposição, o total de amostras possíveis será .
Vamos listar essas amostras:

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de cada uma dessas amostras. A média é simplesmente a soma dos dois números dividida por 2. Por exemplo, para a amostra (2,3):
é
Fazendo isso para todas as 25 amostras, teremos as seguintes médias:

Passo 4

Vamos organizar essas médias para facilitar o cálculo da média e variância populacional.
Médias das amostras:

Passo 5

Item a) Determinar a média e a variância populacionais
Vamos começar calculando a média populacional ( ) e a variância populacional ( ).
  1. Média Populacional ( ):
  1. Variância Populacional ( ):
Primeiro, calculamos cada desvio ao quadrado:
Agora, somamos esses valores e dividimos pelo número total de elementos:

Passo 6

Item b) Determinar a média e a variância da distribuição amostral das médias
Aqui, vamos analisar as médias das amostras que calculamos no Passo 4.
  1. Média da Distribuição Amostral das Médias ( ):
A média das médias das amostras é igual à média populacional.
  1. Variância da Distribuição Amostral das Médias ( ):
A variância da distribuição amostral das médias é a variância populacional dividida pelo tamanho da amostra ( ).

Passo 7

Item c) Diferença entre a média da amostra (6,8) e a média populacional, e a probabilidade dessa diferença ocorrer
Primeiro, vamos calcular a média da amostra (6,8):
A diferença entre a média da amostra e a média populacional é:
Agora, vamos calcular a probabilidade dessa diferença ocorrer.

Passo 8

Para encontrar essa probabilidade, precisamos saber quantas amostras têm média igual a 7. Olhando para as médias que calculamos:
Vamos contar quantas vezes aparece a média 7:
é

Passo 9

Sabemos que o total de amostras é 25. Então, a probabilidade ( ) de uma amostra ter média 7 é:
úé

Resposta

a) A média populacional é 6 e a variância populacional é 10,8.
b) A média da distribuição amostral das médias é 6 e a variância dessa distribuição é 5,4.
c) A diferença entre a média da amostra (7) e a média populacional (6) é 1. A probabilidade dessa diferença ocorrer é de 12%.

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