No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a distância do centro da circunferência x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0 à origem é:
A) 3 u.c.
B) 6 u.c.
C) 5 u.c.
D) 4 u.c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a distância entre o centro de uma circunferência e a origem no plano cartesiano. A equação da circunferência dada é $ x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o centro de uma circunferência a partir de sua equação geral e depois calcular a distância entre esse ponto e a origem usando a fórmula de distância.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação da circunferência na forma canônica, que é (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, onde (a, b) é o centro da circunferência e r é o raio. Para isso, vamos completar os quadrados nos termos de x e y.

Passo 3

Vamos separar os termos de x e y:
x² - 6x + y² + 8y = -9 ²²
Agora, completamos o quadrado para x e para y:
Para x:
x² - 6x = (x - 3)^2 - 9 ²
Para y:
y² + 8y = (y + 4)^2 - 16 ²

Passo 4

Substituímos de volta na equação:
(x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = -9
(x - 3)^2 + (y + 4)^2 - 25 = -9

Passo 5

Isolamos os termos quadrados:
(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16
Agora, temos a equação na forma canônica, onde:
- Centro (a, b) = (3, -4)
- Raio r = raiz16 = 4 unidades de comprimento.

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância entre o centro (3, -4) e a origem (0, 0) usando a fórmula da distância:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo:
d = raiz(3 - 0)^2 + (-4 - 0)^2
d = raiz9 + 16
d = raiz25
d = 5 unidades de comprimento.

Resposta

C) 5 u.c.

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