No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a distância do centro da circunferência x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0 à origem é:
A) 3 u.c.
B) 6 u.c.
C) 5 u.c.
D) 4 u.c.
A) 3 u.c.
B) 6 u.c.
C) 5 u.c.
D) 4 u.c.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a distância entre o centro de uma circunferência e a origem no plano cartesiano. A equação da circunferência dada é $ x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o centro de uma circunferência a partir de sua equação geral e depois calcular a distância entre esse ponto e a origem usando a fórmula de distância.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a equação da circunferência na forma canônica, que é
, onde
é o centro da circunferência e
é o raio. Para isso, vamos completar os quadrados nos termos de
e
.
Passo 3
Vamos separar os termos de
e
:
Agora, completamos o quadrado para
e para
:
Para :
Para
Para
Passo 4
Substituímos de volta na equação:
Passo 5
Isolamos os termos quadrados:
Agora, temos a equação na forma canônica, onde:
- Centro
- Raio
Passo 6
Agora, vamos calcular a distância entre o centro
e a origem
usando a fórmula da distância:
Substituindo:
Resposta
C) 5 u.c.