Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B( -6,3), a abscissa de P vale:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 3

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos um ponto $ P $ no eixo das abscissas (eixo $ x $) que está equidistante dos pontos $ A(1,4) $ e $ B(-6,3) $. Precisamos descobrir qual é a coordenada $ x $ de $ P $. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, representamos o ponto $ P $ como $ (x, 0) $, já que ele está no eixo $ x $ e, portanto, sua coordenada $ y $ é zero. Agora, vamos calcular a distância de $ P $ a $ A $ e de $ P $ a $ B $ usando a fórmula da distância.

Passo 3

A fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
(x1, y1)
Isso significa que a distância depende das diferenças nas coordenadas $ x $ e $ y $ dos pontos.

Passo 4

Calculamos a distância de $ P $ a $ A $:
P

Passo 5

Calculamos a distância de $ P $ a $ B $:
P

Passo 6

Como $ P $ está equidistante de $ A $ e $ B $, as duas distâncias são iguais. Portanto, igualamos as duas expressões:
P

Passo 7

Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x - 1)^2 + 16 = (x + 6)^2 + 9

Passo 8

Agora, vamos expandir os termos quadráticos:
x^2 - 2x + 1 + 16 = x^2 + 12x + 36 + 9
Simplificando:
x^2 - 2x + 17 = x^2 + 12x + 45

Passo 9

Subtraímos $ x^2 $ de ambos os lados para eliminar os termos quadráticos:
x^2

Passo 10

Agora, vamos isolar a variável $ x $:
x
-2x - 12x = 45 - 17
-14x = 28

Resposta

A abscissa de $ P $ vale: -2.

Exercícios relacionados