(3 pontos) No processo de purificação da água, podemos utilizar a chamada filtração por membrana. Em um experimento queremos determinar a relação entre a pressão na membrana e o fluxo, por área, através da membrana. A tabela a seguir mostra os valores medidos.
Pressão 1.02 2.08 2.89 4.01 5.32 5.83 7.26 7.96 9.11 9.99
Fluxo 1.15 0.85 1.56 1.72 4.32 5.07 5.00 5.31 6.17 7.04
e) Estime a pressão para um fluxo médio de unidades

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre purificação da água usando filtração por membrana e nos dá uma tabela com valores de pressão ( ) e fluxo ( ). A gente precisa descobrir qual pressão corresponde a um fluxo médio de unidades. Para isso, vamos usar um pouco de matemática para encontrar a relação entre pressão e fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que geralmente há uma relação direta entre a pressão aplicada na membrana e o fluxo que passa por ela. Para encontrar essa relação, vamos supor que seja uma relação linear, ou seja, que o fluxo aumenta de forma proporcional à pressão. A fórmula dessa relação é:
Onde:
  • é o fluxo,
  • é a pressão,
  • e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Para achar os valores de e , vamos usar os dados da tabela para fazer uma regressão linear. Isso significa que vamos calcular a melhor linha que se ajusta aos pontos dados. Aqui, vamos calcular a média de e , depois usar essas médias para encontrar e .
Primeiro, calculamos a média de e :
Depois, calculamos a inclinação usando:
E o intercepto com:

Passo 4

Com os valores de e encontrados, a equação da reta fica pronta. Agora, queremos achar a pressão para um fluxo . Então, rearranjamos a equação para resolver :
Substituindo por :

Passo 5

Prontinho! A pressão estimada para um fluxo médio de unidades é dada por:

Resposta

A pressão estimada para um fluxo médio de unidades é:

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(2 pontos) O custo de manutenção de teares segue uma distribuição normal, . Durante muito tempo, o parâmetro tem sido adotado como igual a 200. Suspeita-se que esse parâmetro aumentou, e só nos interessa saber se o novo parâmetro é superior a 210. Assim, queremos planejar um teste em que (quando ) e (quando ).
b) Qual a região crítica nesse caso?
(3 pontos) No processo de purificação da água, podemos utilizar a chamada filtração por membrana. Em um experimento queremos determinar a relação entre a pressão na membrana e o fluxo, por área, através da membrana. A tabela a seguir mostra os valores medidos.
Pressão 1.02 2.08 2.89 4.01 5.32 5.83 7.26 7.96 9.11 9.99
Fluxo 1.15 0.85 1.56 1.72 4.32 5.07 5.00 5.31 6.17 7.04
b) Assumindo que um modelo de regressão linear é adequado, determine os coeficientes da equação pelo método dos mínimos quadrados.
(3 pontos) No processo de purificação da água, podemos utilizar a chamada filtração por membrana. Em um experimento queremos determinar a relação entre a pressão na membrana e o fluxo, por área, através da membrana. A tabela a seguir mostra os valores medidos.
Pressão 1.02 2.08 2.89 4.01 5.32 5.83 7.26 7.96 9.11 9.99
Fluxo 1.15 0.85 1.56 1.72 4.32 5.07 5.00 5.31 6.17 7.04
d) Qual a posição do ponto em relação à reta de regressão?
Defina o modelo de regressão linear simples e as suposições associadas. Explique como se da o processo de estimação dos parâmetros utilizando o método de mínimos quadrados. Comente sobre as propriedades dos estimadores obtidos por esse método e como podemos testar hipóteses e construir intervalos de confiança. Comente o que significa o coeficiente de determinação e qual sua importância.