Num população de bactérias, há P(t)= 200, 42 bactérias no instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 200 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha quádruplo da população inicial?
a)0,5
b)1,2
c) 3,0
d)0,8
e)10

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos perguntando. Temos uma população de bactérias que cresce de acordo com a função $ P(t) = 200 \times e^{0,42t} $, onde $ P(t) $ é a população no instante $ t $ em horas. Inicialmente, há 200 bactérias. Queremos descobrir quantos minutos são necessários para que a população quadruplique, ou seja, chegue a 800 bactérias.
Conteúdo da Matéria: Estamos lidando com crescimento exponencial, que é uma função onde a quantidade cresce a uma taxa proporcional ao seu valor atual. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos para isolar o tempo $ t $ na equação.

Passo 2

Primeiro, estabelecemos a equação que representa o crescimento da população:
P(t) = 200 times e^0,42t
Queremos que $ P(t) = 800 $. Vamos substituir na equação:
P(t) = 800

Passo 3

Agora, vamos isolar o termo exponencial dividindo ambos os lados da equação por 200:
800200 = e^0,42t
Simplificando:
4 = e^0,42t

Passo 4

Para resolver para $ t $, vamos usar o logaritmo natural (ln), que é o inverso da função exponencial:
t
Como $ \ln(e^{x}) = x $, temos:
ln(4) = ln(e^0,42t)

Passo 5

Agora, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por 0,42:
t
Calculando o valor de $ \ln(4) $:
t = ln(4)0,42
Então:
ln(4)

Passo 6

Como a pergunta pede o tempo em minutos, vamos converter horas para minutos multiplicando por 60:
3,297 horas times 60 minutos/hora approx 197,82 minutos

Resposta

A quantidade de minutos necessária para que a população quadruplique é aproximadamente 198 minutos. Entre as opções fornecidas, a que mais se aproxima é a alternativa © 3,0 horas (que corresponde a 180 minutos, sendo a opção mais próxima).

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