Num população de bactérias, há P(t)= 200, 42 bactérias no instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 200 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha quádruplo da população inicial?
a)0,5
b)1,2
c) 3,0
d)0,8
e)10
a)0,5
b)1,2
c) 3,0
d)0,8
e)10
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos perguntando. Temos uma população de bactérias que cresce de acordo com a função $ P(t) = 200 \times e^{0,42t} $, onde $ P(t) $ é a população no instante $ t $ em horas. Inicialmente, há 200 bactérias. Queremos descobrir quantos minutos são necessários para que a população quadruplique, ou seja, chegue a 800 bactérias.
Conteúdo da Matéria: Estamos lidando com crescimento exponencial, que é uma função onde a quantidade cresce a uma taxa proporcional ao seu valor atual. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos para isolar o tempo $ t $ na equação.
Passo 2
Primeiro, estabelecemos a equação que representa o crescimento da população:
Queremos que $ P(t) = 800 $. Vamos substituir na equação:
Passo 3
Agora, vamos isolar o termo exponencial dividindo ambos os lados da equação por 200:
Simplificando:
Passo 4
Para resolver para $ t $, vamos usar o logaritmo natural (ln), que é o inverso da função exponencial:
Como $ \ln(e^{x}) = x $, temos:
Passo 5
Agora, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por 0,42:
Calculando o valor de $ \ln(4) $:
Então:
Passo 6
Como a pergunta pede o tempo em minutos, vamos converter horas para minutos multiplicando por 60:
Resposta
A quantidade de minutos necessária para que a população quadruplique é aproximadamente 198 minutos. Entre as opções fornecidas, a que mais se aproxima é a alternativa © 3,0 horas (que corresponde a 180 minutos, sendo a opção mais próxima).