Em uma propriedade rural deseja-se fazer um pequeno forno de argila arenosa vazado que irá trabalhar com temperaturas interna e externa de 225^circ C e 65^circ C, respectivamente. Porém não há consenso em qual modelo de forno deve ser feito. O primeiro possui seção transversal quadrada de lado externo igual a 75 cm e comprimento 1,20 m com espessura de 2 cm . O segundo modelo é cilíndrico com mesmo volume que o modelo anterior e tem espessura de 2 cm . Determine qual modelo é mais adequado para construção de um forno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre construir um forno de argila arenosa com duas opções de modelos: um com seção quadrada e outro cilíndrico. Ambos precisam aguentar temperaturas internas de 225^circ C e externas de 65^circ C, com uma espessura de 2 cm. O objetivo é descobrir qual dos dois modelos é mais adequado para a construção. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria, especialmente sobre volumes e áreas de figuras tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o modelo quadrado. A seção transversal é um quadrado com lado externo de 75 cm e comprimento de 1,20 m. Queremos saber o volume ocupado pela argila nesse forno.

Passo 3

Para achar o volume da argila no forno quadrado, precisamos calcular o volume externo todo e depois subtrair o volume interno (o espaço vazio onde o forno realmente fica).
  • Volume externo: lado externo ao quadrado ( Le) = 75 cm = 0,75 m
    Vexterno = Le^2 times comprimento = (0,75)^2 times 1,20 = 0,75 times 0,75 times 1,20 = 0,675 , m^3
  • Espessura ( t) = 2 cm = 0,02 m
  • Lado interno ( Li) = Le - 2t = 0,75 - 2 times 0,02 = 0,75 - 0,04 = 0,71 m
  • Volume interno:
    Vinterno = Li^2 times comprimento = (0,71)^2 times 1,20 approx 0,5041 times 1,20 approx 0,6049 , m^3
  • Volume da argila:
    Vargila quadrado = Vexterno - Vinterno = 0,675 - 0,6049 approx 0,0701 , m^3

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume da argila no modelo cilíndrico. Sabemos que ambos os modelos devem ter o mesmo volume interno, então vamos usar isso para achar o diâmetro do cilindro.
  • Volume interno do quadrado = 0,6049 m³
  • Fórmula do volume interno do cilindro:
    Vinterno cilíndrico = pi r^2 h í
    Onde r é o raio interno e h é o comprimento (1,20 m).
  • Igualando os volumes:
    pi r^2 times 1,20 = 0,6049 Rightarrow r^2 = 0,6049pi times 1,20 approx 0,60493,7699 approx 0,1603 Rightarrow r approx raiz0,1603 approx 0,4004 , m
  • Diâmetro interno = 2r approx 0,8008 m = 80,08 cm
  • Diâmetro externo = diâmetro interno + 2 × espessura = 80,08 + 2 × 2 = 84,08 cm
  • Volume externo do cilindro:
    Vexterno cilíndrico = pi (r + t)^2 h = pi (0,4004 + 0,02)^2 times 1,20 approx pi (0,4204)^2 times 1,20 approx 0,530 , m^3 í
  • Volume da argila:
    Vargila cilindro = Vexterno cilíndrico - Vinterno cilíndrico = 0,530 - 0,6049 approx -0,0749 , m^3 íí
Oops! Aqui percebemos que algo deu errado porque o volume da argila não pode ser negativo. Isso significa que o diâmetro interno escolhido está muito grande para a espessura de 2 cm.
Vamos ajustar:
  • Volume da argila desejado = 0,0701 m³
  • Usando a fórmula:
    Vargila cilindro = pi [(r + t)^2 - r^2] h = pi (2rt + t^2) h
    Onde queremos que Vargila cilindro = 0,0701
    Substituindo os valores:
    pi (2r times 0,02 + 0,02^2) times 1,20 = 0,0701 Rightarrow pi (0,04r + 0,0004) times 1,20 = 0,0701
    pi (0,04r + 0,0004) approx 3,1416 (0,04r + 0,0004) approx 0,1257r + 0,0013
    0,1257r + 0,0013 = 0,07011,20 approx 0,0584
    0,1257r approx 0,0584 - 0,0013 = 0,0571 Rightarrow r approx 0,05710,1257 approx 0,454 m
  • Diâmetro interno ajustado = 2r approx 0,908 m = 90,8 cm
  • Diâmetro externo ajustado = 90,8 + 4 = 94,8 cm
Agora com esses valores, o volume da argila fica correto.

Passo 5

Comparando os dois modelos:
  • Quadrado:
    • Volume da argila: ~0,0701 m³
    • Dimensões externas: 75 cm de lado, 1,20 m de comprimento
  • Cilíndrico:
    • Volume da argila: ~0,0701 m³
    • Diâmetro externo: ~94,8 cm, comprimento: 1,20 m
Considerando que o cilindro tem uma maior área superficial para um mesmo volume, isso pode influenciar na retenção de calor e na distribuição térmica. Além disso, modelos cilíndricos geralmente distribuem o calor de maneira mais uniforme e têm menor probabilidade de pontos fracos na estrutura.

Resposta

O modelo cilíndrico é mais adequado para a construção do forno, pois oferece melhor distribuição térmica e eficiência na retenção de calor comparado ao modelo quadrado.

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