Quantifique o experimento realizado por Arquimedes para identificar o material da coroa do Rei Hiero. Suponha que você possa medir o peso da coroa do rei no ar, War, e também o peso na água, W H2O . Expresse a densidade relativa da coroa como uma função desses valores medidos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve o experimento de Arquimedes para descobrir do que é feita a coroa do Rei Hiero. Estamos falando de Física, mais especificamente de hidrostática, que estuda os fluidos em repouso. Para resolver, vamos precisar dos valores do peso da coroa no ar ( War) e o peso dela na água ( WH2O).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Princípio de Arquimedes, que diz que um objeto imerso em um fluido (como a água) sofre uma força de empuxo para cima igual ao peso do fluido que ele desloca. Ou seja, quando a coroa é colocada na água, ela “perde” um pouco de peso devido a essa força.

Passo 3

Essa perda de peso na água ( War - WH2O) é justamente a força de empuxo ( Fb). Então, temos:
Fb = War - WH2O

Passo 4

Sabemos também que a força de empuxo pode ser calculada pela fórmula:
Fb = rhoH2O cdot g cdot V
Onde:
  • rhoH2O é a densidade da água,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • V é o volume da coroa.

Passo 5

Agora, vamos relacionar a força de empuxo com o peso da coroa. A massa da coroa ( m) é dada por:
m = Warg
E a densidade ( rho) da coroa é:
rho = mV = Warg cdot V

Passo 6

Substituindo a expressão de Fb da Passo 3 na fórmula da Passo 4, temos:
War - WH2O = rhoH2O cdot g cdot V
Queremos expressar V em termos de War e WH2O:
V = War - WH2OrhoH2O cdot g

Passo 7

Agora, substituímos V na fórmula da densidade:
rho = Warg cdot ( War - WH2OrhoH2O cdot g ) = War cdot rhoH2OWar - WH2O

Resposta

A densidade relativa da coroa é dada por:
D = rhorhoH2O = WarWar - WH2O

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