De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de combinações! A questão pede para escolher 6 pessoas de um grupo que tem 7 homens e 4 mulheres, mas com a condição de incluir pelo menos duas mulheres. Vamos usar o conceito de combinações, que nos ajuda a calcular de quantas maneiras podemos selecionar grupos sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos duas mulheres”. Isso quer dizer que podemos ter:
  • 2 mulheres e 4 homens
  • 3 mulheres e 3 homens
  • 4 mulheres e 2 homens
Vamos calcular cada caso separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Caso 1: 2 mulheres e 4 homens
Para escolher 2 mulheres entre 4, usamos a combinação:
binom42 = 4!2! times (4-2)! = 4 times 32 times 1 = 6
Para escolher 4 homens entre 7:
binom74 = 7!4! times (7-4)! = 7 times 6 times 53 times 2 times 1 = 35
Multiplicando os dois resultados:
6 times 35 = 210

Passo 4

Caso 2: 3 mulheres e 3 homens
Para escolher 3 mulheres entre 4:
binom43 = 4!3! times (4-3)! = 41 = 4
Para escolher 3 homens entre 7:
binom73 = 7!3! times (7-3)! = 7 times 6 times 53 times 2 times 1 = 35
Multiplicando os dois resultados:
4 times 35 = 140

Passo 5

Caso 3: 4 mulheres e 2 homens
Para escolher 4 mulheres entre 4:
binom44 = 4!4! times (4-4)! = 1
Para escolher 2 homens entre 7:
binom72 = 7!2! times (7-2)! = 7 times 62 times 1 = 21
Multiplicando os dois resultados:
1 times 21 = 21

Passo 6

Agora, somamos os resultados dos três casos para encontrar o total de maneiras:
210 + 140 + 21 = 371

Resposta

Existem 371 maneiras de escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres.

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