Quantos números inteiros positivos podem ser representados em uma base , cada um com n algarismos significativos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta quantos números inteiros positivos podem ser representados em uma base $ B $, cada um com $ n $ algarismos significativos. Isso está relacionado ao sistema de numeração posicional, que usamos para representar números em diferentes bases. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a contagem de números em diferentes bases e aplicar algumas regras básicas de combinatória.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de base $ B $, cada dígito pode assumir valores de $ 0 $ até $ B-1 $. Por exemplo, na base 10 (decimal), temos dígitos de 0 a 9.
Passo 3
Agora, como queremos números com $ n $ algarismos significativos, isso significa que temos um número de $ n $ dígitos. O primeiro dígito não pode ser zero, porque se fosse, ele não seria significativo (por exemplo, $ 012 $ na base 10 seria apenas $ 12 $).
Passo 4
Então, para o primeiro dígito, temos $ B-1 $ opções (de 1 a $ B-1 $). Para cada um dos outros $ n-1 $ dígitos, podemos usar qualquer um dos $ B $ valores possíveis (de 0 a $ B-1 $).
Passo 5
Para encontrar o total de combinações possíveis, multiplicamos o número de opções para cada posição. Ou seja:
(B-1) times B^n-1
Isso significa que o total de números positivos com $ n $ algarismos na base $ B $ é igual a $ (B-1) $ vezes $ B $ elevado a $ n-1 $.
Resposta
O total de números inteiros positivos com $ n $ algarismos significativos na base $ B $ é: