QUESTÃO: Em certa região do espaço, o potencial elétrico em um sistema é dado
Determinar
b) o módulo do campo elétrico no ponto
, que tem coordenadas
.
(2,0 pontos)
b) o módulo do campo elétrico no ponto
(2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletrostática onde o potencial elétrico $ V(x, y, z) $ é dado pela expressão:
Nosso objetivo aqui é descobrir o módulo do campo elétrico $ \mathbf{E} $ no ponto $ P $ com coordenadas $ (2, -3, 1) $ metros. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial relacionados ao potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. O gradiente $ \nabla V $ é um vetor que contém as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das componentes do campo elétrico:
- Componente em $ x $ ($ E_x $):
- Componente em $ y $ ($ E_y $):
- Componente em $ z $ ($ E_z $):
Passo 4
Agora, vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
Calculando $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
Então,
Calculando $ \frac{\partial V}{\partial y} $:
Então,
Calculando $ \frac{\partial V}{\partial z} $:
Então,
Passo 5
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto $ P(2, -3, 1) $ nas expressões que encontramos para $ E_x $, $ E_y $ e $ E_z $.
Calculando $ E_x $ em $ P $:
Substituindo $ x = 2 $, $ y = -3 $, $ z = 1 $:
Calculando $ E_y $ em $ P $:
Substituindo:
Calculando $ E_z $ em $ P $:
Substituindo:
Resposta
O módulo do campo elétrico no ponto $ P(2, -3, 1) $ é: