QUESTÃO: Em certa região do espaço, o potencial elétrico em um sistema é dado
V(x, y, z)=-x^2 y z-x raizz+2 x y z^3
Determinar
b) o módulo do campo elétrico no ponto P, que tem coordenadas (2 ;-3 ; 1) m.
(2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletrostática onde o potencial elétrico $ V(x, y, z) $ é dado pela expressão:
V(x, y, z)
Nosso objetivo aqui é descobrir o módulo do campo elétrico $ \mathbf{E} $ no ponto $ P $ com coordenadas $ (2, -3, 1) $ metros. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial relacionados ao potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela relação:
E
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. O gradiente $ \nabla V $ é um vetor que contém as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das componentes do campo elétrico:
  1. Componente em $ x $ ($ E_x $):
x
  1. Componente em $ y $ ($ E_y $):
Ex
  1. Componente em $ z $ ($ E_z $):
Ex = -partial Vpartial x

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
Calculando $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
partial Vpartial x
partial Vpartial x = partialpartial x (-x^2 y z) + partialpartial x (-x raizz) + partialpartial x (2 x y z^3)
Então,
= -2x y z - raizz + 2 y z^3
Calculando $ \frac{\partial V}{\partial y} $:
Ex = -(-2x y z - raizz + 2 y z^3) = 2x y z + raizz - 2 y z^3
partial Vpartial y
Então,
partial Vpartial y = partialpartial y (-x^2 y z) + partialpartial y (-x raizz) + partialpartial y (2 x y z^3)
Calculando $ \frac{\partial V}{\partial z} $:
= -x^2 z + 0 + 2 x z^3
Ey = -(-x^2 z + 2 x z^3) = x^2 z - 2 x z^3
Então,
partial Vpartial z

Passo 5

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto $ P(2, -3, 1) $ nas expressões que encontramos para $ E_x $, $ E_y $ e $ E_z $.
Calculando $ E_x $ em $ P $:
P(2, -3, 1)
Substituindo $ x = 2 $, $ y = -3 $, $ z = 1 $:
Ex
Calculando $ E_y $ em $ P $:
Ey
Substituindo:
Ez
Calculando $ E_z $ em $ P $:
Ex
Substituindo:
P

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto $ P(2, -3, 1) $ é:
P(2, -3, 1)

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