4^2 Questão) Uma esfera sólida, AISI 1010 , com 1 cm de diâmetro, inicialmente a 15^circ C é colocada em uma corrente de ar, Tinfty=60^circ C. Estimar a equação que expressa a temperatura dessa esfera em função do tempo depois de ter sido colocada na corrente de ar quente. Estime a temperatura após 60 segundos.
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Passo 1

Vamos lá! Você tem uma esfera sólida de aço AISI 1010, com 1 cm de diâmetro, inicialmente a 15°C, que foi colocada em uma corrente de ar quente a 60°C. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação que descreve como a temperatura dessa esfera varia com o tempo após ser colocada na corrente de ar. Depois, vamos usar essa equação para estimar a temperatura da esfera após 60 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especialmente a Lei de Resfriamento de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa da esfera. Para isso, precisamos do volume e da densidade do aço AISI 1010.
A fórmula para o volume de uma esfera é:
V = 43 pi r^3
Onde V = 43 pi (0,005)^3 approx 5,24 times 10^-7 , m^3 é o raio.
Como o diâmetro é 1 cm, o raio m = rho V = 7850 times 5,24 times 10^-7 approx 0,0041 , kg é 0,5 cm ou 0,005 metros.
Calculando o volume:
A densidade do aço AISI 1010 é aproximadamente .
Então, a massa é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a área superficial da esfera, que é importante para determinar a taxa de transferência de calor.
A fórmula para a área superficial de uma esfera é:
A = 4 pi r^2
Substituindo o valor do raio:
A = 4 pi (0,005)^2 approx 3,14 times 10^-4 , m^2

Passo 4

Precisamos agora do coeficiente de transferência de calor por convecção . Esse valor depende das condições do fluxo de ar. Para uma corrente de ar forçada, um valor típico de é cerca de 50 W/(m²·°C).

Passo 5

Vamos determinar a constante k = h Am c na equação de resfriamento. A constante k = 50 times 3,14 times 10^-40,0041 times 480 approx 0,080 , s^-1 é dada por:
Onde é a capacidade térmica específica do aço AISI 1010, que é aproximadamente .
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, podemos montar a equação que descreve a temperatura da esfera em função do tempo. A solução da equação diferencial de resfriamento de Newton é:
T(t) = Tinfty - (Tinfty - T0) e^-k t
Onde:
  • é a temperatura da esfera no tempo ,
  • é a temperatura do ambiente (60°C),
  • é a temperatura inicial da esfera (15°C),
  • é a constante que calculamos (0,080 s⁻¹),
  • é o tempo em segundos.

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a temperatura da esfera após 60 segundos.
Substituindo os valores na equação:
T(60) = 60 - (60 - 15) e^-0,080 times 60
T(60) = 60 - 45 e^-4,8
e^-4,8 approx 0,0082
T(60) = 60 - 45 times 0,0082 approx 60 - 0,369 approx 59,63°C

Resposta

A temperatura da esfera após 60 segundos é aproximadamente 59,63°C.

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