Questão) Uma esfera sólida, AISI 1010 , com 1 cm de diâmetro, inicialmente a
é colocada em uma corrente de ar,
. Estimar a equação que expressa a temperatura dessa esfera em função do tempo depois de ter sido colocada na corrente de ar quente. Estime a temperatura após 60 segundos.
ag omeracos
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Passo 1
Vamos lá! Você tem uma esfera sólida de aço AISI 1010, com 1 cm de diâmetro, inicialmente a 15°C, que foi colocada em uma corrente de ar quente a 60°C. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação que descreve como a temperatura dessa esfera varia com o tempo após ser colocada na corrente de ar. Depois, vamos usar essa equação para estimar a temperatura da esfera após 60 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especialmente a Lei de Resfriamento de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa da esfera. Para isso, precisamos do volume e da densidade do aço AISI 1010.
A fórmula para o volume de uma esfera é:
Onde
é o raio.
Como o diâmetro é 1 cm, o raio
é 0,5 cm ou 0,005 metros.
Calculando o volume:
A densidade do aço AISI 1010 é aproximadamente
.
Então, a massa
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área superficial da esfera, que é importante para determinar a taxa de transferência de calor.
A fórmula para a área superficial de uma esfera é:
Substituindo o valor do raio:
Passo 4
Precisamos agora do coeficiente de transferência de calor por convecção
. Esse valor depende das condições do fluxo de ar. Para uma corrente de ar forçada, um valor típico de
é cerca de 50 W/(m²·°C).
Passo 5
Vamos determinar a constante
na equação de resfriamento. A constante
é dada por:
Onde
é a capacidade térmica específica do aço AISI 1010, que é aproximadamente
.
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, podemos montar a equação que descreve a temperatura da esfera em função do tempo. A solução da equação diferencial de resfriamento de Newton é:
Onde:
-
é a temperatura da esfera no tempo , -
é a temperatura do ambiente (60°C), -
é a temperatura inicial da esfera (15°C), -
é a constante que calculamos (0,080 s⁻¹), -
é o tempo em segundos.
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a temperatura da esfera após 60 segundos.
Substituindo os valores na equação:
Resposta
A temperatura da esfera após 60 segundos é aproximadamente 59,63°C.
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