Um recipiente transparente possui o formato de um prisma reto de altura 15 cm e base quadrada de lado 6 cm. Ele está com uma face quadrada apoiada sobre a mesa e contém água até a altura de 10 cm. Se apoiarmos uma face não quadrada na mesa e inserirmos um objeto dentro do recipiente, qual deve ser o volume do objeto para que o nível da água fique em 5 cm?
Passo 1
Vamos resolver esse exercício juntos! Temos um prisma reto com base quadrada de lado 6 cm e altura de 15 cm. Inicialmente, ele está apoiado em uma face quadrada e contém água até 10 cm de altura. Queremos descobrir o volume de um objeto que, ao ser inserido quando o prisma está apoiado em uma face não quadrada, fará com que o nível da água caia para 5 cm. Para isso, vamos precisar entender conceitos de volume e como a mudança na posição do recipiente afeta a distribuição da água.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume de água inicial no recipiente quando ele está apoiado na face quadrada. A base é um quadrado de lado 6 cm e a altura da água é 10 cm. A fórmula para o volume de um prisma é:
Então, a área da base é:
Portanto, o volume inicial de água é:
Passo 3
Agora, vamos considerar o recipiente apoiado em uma face não quadrada, ou seja, uma face retangular. Nesse caso, as dimensões da base serão 6 cm e 15 cm. A nova área da base será:
Queremos que, ao inserir o objeto, o nível da água fique em 5 cm. Então, o novo volume de água será:
Passo 4
Observamos que ao mudar a posição do recipiente, a área da base aumentou de 36 cm² para 90 cm², mas o nível da água diminuiu de 10 cm para 5 cm. Isso indica que o volume de água disposto mudou. No entanto, inicialmente, o volume de água era 360 cm³, e após a mudança, queremos que seja 450 cm³. Isso significa que precisamos adicionar água para aumentar o volume.
Mas, na verdade, inserimos um objeto que desloca água. Quando inserimos um objeto no líquido, ele desloca um volume igual ao volume do objeto. Portanto, se queremos que o nível da água aumente, precisamos que o objeto desloque a quantidade necessária de água.
Passo 5
Vamos calcular a diferença entre o volume desejado e o volume inicial:
Isso significa que precisamos deslocar 90 cm³ de água para que o nível da água suba de 10 cm para 5 cm na nova posição do recipiente.
Passo 6
Portanto, o volume do objeto que precisamos inserir no recipiente deve ser igual a essa diferença de volume, ou seja, 90 cm³. Esse é o volume que o objeto precisa ter para deslocar a quantidade de água necessária e fazer com que o nível da água fique em 5 cm.
Resposta
O volume do objeto deve ser de 90 cm³.