Sabendo-se que a energia interna
do sistema contendo uma substância pura é uma função da temperatura e da pressão e depende da quantidade de matéria, ou seja,
mostre que para um sistema fechado:
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A questão fala sobre energia interna (
) de um sistema que contém uma substância pura. Essa energia interna é função da temperatura (
), da pressão (
) e da quantidade de matéria (
), ou seja,
. O objetivo é mostrar que, para um sistema fechado (onde a quantidade de matéria
permanece constante), a variação da energia interna específica (
) pode ser expressa como:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e funções de várias variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia interna específica (
) é a energia interna total (
) dividida pela quantidade de matéria (
):
Isso significa que qualquer variação em
resulta numa variação proporcional em
, já que
é constante em um sistema fechado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variação de
, ou seja,
. Sabendo que
e que
é constante, a derivada de
em relação a qualquer variável será:
Isso simplifica nossa análise, pois agora precisamos encontrar
.
Passo 4
A energia interna total (
) é função de
,
e
:
. Para encontrar
, usamos a regra da diferenciação total para funções de várias variáveis:
Mas, como o sistema é fechado, a quantidade de matéria
não muda. Ou seja,
. Portanto, a equação simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão que encontramos para
:
Distribuindo o
, temos:
Resposta
Pronto! Mostramos que para um sistema fechado, a variação da energia interna específica
é dada por: