Sabendo-se que a energia interna U do sistema contendo uma substância pura é uma função da temperatura e da pressão e depende da quantidade de matéria, ou seja, U= U(T, P, n) mostre que para um sistema fechado:
d u=1n partial Upartial T d T+1n partial Upartial P d P

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A questão fala sobre energia interna ( U) de um sistema que contém uma substância pura. Essa energia interna é função da temperatura ( T), da pressão ( P) e da quantidade de matéria ( n), ou seja, U = U(T, P, n). O objetivo é mostrar que, para um sistema fechado (onde a quantidade de matéria n permanece constante), a variação da energia interna específica ( du) pode ser expressa como:
d u = 1n partial Upartial T d T + 1n partial Upartial P d P
Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e funções de várias variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia interna específica ( u) é a energia interna total ( U) dividida pela quantidade de matéria ( n):
u = Un
Isso significa que qualquer variação em U resulta numa variação proporcional em u, já que n é constante em um sistema fechado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variação de u, ou seja, du. Sabendo que u = U/n e que n é constante, a derivada de u em relação a qualquer variável será:
d u = d Un
Isso simplifica nossa análise, pois agora precisamos encontrar dU.

Passo 4

A energia interna total ( U) é função de T, P e n: U = U(T, P, n). Para encontrar dU, usamos a regra da diferenciação total para funções de várias variáveis:
d U = partial Upartial T d T + partial Upartial P d P + partial Upartial n d n
Mas, como o sistema é fechado, a quantidade de matéria n não muda. Ou seja, d n = 0. Portanto, a equação simplifica para:
d U = partial Upartial T d T + partial Upartial P d P

Passo 5

Agora, substituímos d U na expressão que encontramos para d u:
d u = d Un = 1n ( partial Upartial T d T + partial Upartial P d P )
Distribuindo o 1n, temos:
d u = 1n partial Upartial T d T + 1n partial Upartial P d P

Resposta

Pronto! Mostramos que para um sistema fechado, a variação da energia interna específica u é dada por:
d u = 1n partial Upartial T d T + 1n partial Upartial P d P

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