Quais são as propriedades básicas da Transformada de Fourier, como linearidade, deslocamento no tempo e escala em frequência?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre as propriedades básicas da Transformada de Fourier, especificamente a linearidade, o deslocamento no tempo e a escala em frequência. Para responder isso, vamos precisar entender o que é a Transformada de Fourier e como essas propriedades funcionam na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a linearidade. Em matemática, uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades: aditividade e homogeneidade. No caso da Transformada de Fourier, isso significa que se você tem duas funções, digamos $ f(t) $ e $ g(t) $, e constantes $ a $ e $ b $, a transformada da combinação linear dessas funções é igual à combinação linear das transformadas individuais. Matematicamente, isso é representado por:
f(t)
Isso é super útil porque permite quebrar problemas complexos em partes mais simples.

Passo 3

Agora, vamos para o deslocamento no tempo. Isso trata de como a Transformada de Fourier lida com funções que são “movidas” no tempo. Se você tiver uma função $ f(t) $ e a deslocar dela por um tempo $ t_0 $, a transformada dessa função deslocada será a transformada original multiplicada por um termo exponencial que depende de $ t_0 $. A fórmula é:
f(t)
Isso significa que deslocar a função no tempo resulta em uma mudança de fase na frequência.

Passo 4

Por último, vamos falar sobre a escala em frequência. Essa propriedade descreve como a transformada muda quando a função original é “esticada” ou “comprimida” no tempo. Se você tem uma função $ f(at) $, onde $ a $ é uma constante real positiva, a transformada dessa função será a transformada de $ f(t) $ escalada pela constante $ a $ e ajustada na frequência. A fórmula é:
f(at)
Isso indica que comprimir a função no tempo amplia sua representação na frequência e vice-versa.

Resposta

As propriedades básicas da Transformada de Fourier são:
  1. Linearidade: A transformada de uma combinação linear de funções é igual à combinação linear das transformadas individuais.
  2. Deslocamento no Tempo: Deslocar uma função no tempo resulta em uma mudança de fase na frequência.
  3. Escala em Frequência: Escalar a função no tempo afeta a escala da frequência na transformada, comprimindo ou expandindo-a dependendo da constante de escala.

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