Seja a função de distribuição da variável aleatória X dada por
F(x)=cc 0, & 0 <= x<1 118(x^2+x-2), & 1 <= x<4 1, & x >= 4
Calcule E(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de distribuição acumulada $ F(x) $ de uma variável aleatória $ X $ e precisa encontrar o valor esperado $ E(X) $. Isso envolve entender funções de distribuição, derivadas para achar a densidade de probabilidade e, por fim, calcular a integral para obter $ E(X) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada $ F(x) $ nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor $ x $. Para achar a densidade de probabilidade $ f(x) $, que é essencial para calcular o valor esperado, precisamos derivar $ F(x) $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos derivar cada parte de $ F(x) $:
  • Para $ 0 \leq x < 1 $, $ F(x) = 0 $. A derivada de uma constante é zero, então $ f(x) = 0 $ nessa faixa.
  • Para $ 1 \leq x < 4 $, $ F(x) = \frac{1}{18}(x^2 + x - 2) $. Derivando em relação a $ x $: F(x)
  • Para $ x \geq 4 $, $ F(x) = 1 $. Novamente, a derivada de uma constante é zero, então $ f(x) = 0 $ nessa faixa.

Passo 4

Agora que temos $ f(x) $, podemos calcular o valor esperado $ E(X) $. A fórmula para o valor esperado é:
f(x)
Mas, olhando para $ f(x) $, sabemos que ela é diferente de zero apenas entre 1 e 4. Então, a integral fica:
E(X)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x cdot 118(2x + 1) = 118(2x^2 + x)
Então, a integral vira:
E(X) = 118 integral1^4 (2x^2 + x) , dx

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral1^4 (2x^2 + x) , dx = 2 integral1^4 x^2 , dx + integral1^4 x , dx
Calculando cada parte:
2 [ x^33 ]1^4 = 2 ( 643 - 13 ) = 2 cdot 633 = 2 cdot 21 = 42
[ x^22 ]1^4 = 162 - 12 = 8 - 0,5 = 7,5
Somando tudo:
42 + 7,5 = 49,5

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo coeficiente que estava fora da integral:
E(X) = 118 cdot 49,5 = 49,518 = 2,75

Resposta

O valor esperado $ E(X) $ é igual a 2,75.

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