Seja a função de distribuição da variável aleatória dada por
Calcule E(X).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de distribuição acumulada $ F(x) $ de uma variável aleatória $ X $ e precisa encontrar o valor esperado $ E(X) $. Isso envolve entender funções de distribuição, derivadas para achar a densidade de probabilidade e, por fim, calcular a integral para obter $ E(X) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada $ F(x) $ nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor $ x $. Para achar a densidade de probabilidade $ f(x) $, que é essencial para calcular o valor esperado, precisamos derivar $ F(x) $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos derivar cada parte de $ F(x) $:
Para $ 0 \leq x < 1 $, $ F(x) = 0 $. A derivada de uma constante é zero, então $ f(x) = 0 $ nessa faixa.
Para $ 1 \leq x < 4 $, $ F(x) = \frac{1}{18}(x^2 + x - 2) $. Derivando em relação a $ x $: F(x)
Para $ x \geq 4 $, $ F(x) = 1 $. Novamente, a derivada de uma constante é zero, então $ f(x) = 0 $ nessa faixa.
Passo 4
Agora que temos $ f(x) $, podemos calcular o valor esperado $ E(X) $. A fórmula para o valor esperado é:
f(x)
Mas, olhando para $ f(x) $, sabemos que ela é diferente de zero apenas entre 1 e 4. Então, a integral fica: