Suponha que
tem f.d.p dada por
Use
e encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade (f.d.p) de uma variável aleatória $ X $ e pede para encontrarmos a expectativa $ E(X) $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ usando a função geradora de momentos $ M_X(t) $. Basicamente, vamos utilizar conceitos de cálculo e estatística para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função geradora de momentos $ M_X(t) $. Ela é definida como:
No nosso caso, a f.d.p $ f(x) $ é:
Então, a integral fica apenas de 0 a infinito:
Passo 3
Vamos calcular essa integral. A expressão $ e^{(t - 2)x} $ é uma função exponencial que é integrável se $ t - 2 < 0 $, ou seja, se $ t < 2 $. Assumindo que $ t < 2 $, a integral de $ e^{ax} $ de 0 a infinito é $ \frac{1}{-a} $, onde $ a = t - 2 $.
Passo 4
Agora que temos $ M_X(t) $, podemos encontrar a expectativa $ E(X) $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ usando as derivadas da função geradora de momentos. As fórmulas são:
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ M_X(t) $:
Avaliando em $ t = 0 $:
Agora, a segunda derivada:
Avaliando em $ t = 0 $:
Finalmente, calculamos a variância:
Resposta
A expectativa de $ X $ é $ E(X) = 0,5 $ e a variância é $ \operatorname{Var}(X) = 0,25 $.