Suponha que X tem f.d.p dada por
f(x)=cc 0, & x<0 2 e^-2 x, & x>0
Use MX(t) e encontre E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade (f.d.p) de uma variável aleatória $ X $ e pede para encontrarmos a expectativa $ E(X) $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ usando a função geradora de momentos $ M_X(t) $. Basicamente, vamos utilizar conceitos de cálculo e estatística para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função geradora de momentos $ M_X(t) $. Ela é definida como:
MX(t)
No nosso caso, a f.d.p $ f(x) $ é:
MX(t) = E(e^tX) = integral-infty^infty e^tx f(x) , dx
Então, a integral fica apenas de 0 a infinito:
f(x)

Passo 3

Vamos calcular essa integral. A expressão $ e^{(t - 2)x} $ é uma função exponencial que é integrável se $ t - 2 < 0 $, ou seja, se $ t < 2 $. Assumindo que $ t < 2 $, a integral de $ e^{ax} $ de 0 a infinito é $ \frac{1}{-a} $, onde $ a = t - 2 $.
e^(t - 2)x

Passo 4

Agora que temos $ M_X(t) $, podemos encontrar a expectativa $ E(X) $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ usando as derivadas da função geradora de momentos. As fórmulas são:
MX(t)
E(X)
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ M_X(t) $:
Var(X)
Avaliando em $ t = 0 $:
E(X) = M'X(0)
Agora, a segunda derivada:
Var(X) = M''X(0) - [M'X(0)]^2
Avaliando em $ t = 0 $:
MX(t)
Finalmente, calculamos a variância:
M'X(t) = ddt ( 22 - t ) = 2(2 - t)^2

Resposta

A expectativa de $ X $ é $ E(X) = 0,5 $ e a variância é $ \operatorname{Var}(X) = 0,25 $.

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