Seja X Unif[-2,2]. Um experimento consiste em gerar amostras de X e uma outra va indicadora Y é definida da seguinte forma:
, caso contrário. O experimento é repetido 20 vezes:
A soma dos valores de Y seja igual a 5?
A soma dos valores de Y seja igual a 5?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória
que segue uma distribuição uniforme no intervalo
. Definimos uma variável indicadora
que vale 1 se
e 0 caso contrário. Vamos repetir esse experimento 20 vezes e queremos saber qual é a probabilidade de que a soma de todos os valores de
seja igual a 5.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre Distribuição Binomial, que é usada para calcular probabilidades de resultados que têm apenas dois possíveis desfechos (sucesso ou falha) em um número fixo de tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a probabilidade de sucesso em uma única tentativa, ou seja, a probabilidade de
. Como
é uniforme em
, a probabilidade de
é proporcional ao comprimento do intervalo onde isso acontece.
Passo 3
O intervalo total de
é de
a
, o que tem comprimento
. O intervalo onde
vai de
a
, que tem comprimento
.
Passo 4
Então, a probabilidade de sucesso
é:
Passo 5
Agora, queremos saber a probabilidade de exatamente 5 sucessos (
) em 20 tentativas. A distribuição Binomial nos dá essa probabilidade através da fórmula:
Onde:
-
(número de tentativas) -
(número de sucessos desejados) -
(probabilidade de sucesso em uma tentativa)
Passo 6
Calculando o coeficiente binomial
:
Passo 7
Agora, calculando
e
:
Passo 8
Multiplicando todos os termos para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de que a soma dos valores de
seja igual a 5 em 20 tentativas é aproximadamente 0,43%.
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