Seja X Unif[-2,2]. Um experimento consiste em gerar amostras de X e uma outra va indicadora Y é definida da seguinte forma: Y=1 se X<=0.5, Y=0, caso contrário. O experimento é repetido 20 vezes:
A soma dos valores de Y seja igual a 5?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição uniforme no intervalo . Definimos uma variável indicadora que vale 1 se e 0 caso contrário. Vamos repetir esse experimento 20 vezes e queremos saber qual é a probabilidade de que a soma de todos os valores de seja igual a 5.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre Distribuição Binomial, que é usada para calcular probabilidades de resultados que têm apenas dois possíveis desfechos (sucesso ou falha) em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a probabilidade de sucesso em uma única tentativa, ou seja, a probabilidade de . Como é uniforme em , a probabilidade de é proporcional ao comprimento do intervalo onde isso acontece.

Passo 3

O intervalo total de é de a , o que tem comprimento . O intervalo onde vai de a , que tem comprimento .

Passo 4

Então, a probabilidade de sucesso p = Comprimento do intervalo onde X <= 0.5Comprimento total do intervalo = 2.54 = 0.625 é:

Passo 5

Agora, queremos saber a probabilidade de exatamente 5 sucessos ( P(k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k ) em 20 tentativas. A distribuição Binomial nos dá essa probabilidade através da fórmula:
Onde:
  • (número de tentativas)
  • (número de sucessos desejados)
  • (probabilidade de sucesso em uma tentativa)

Passo 6

Calculando o coeficiente binomial binom205 = 20!5!(20-5)! = 15504 :

Passo 7

Agora, calculando p^k = 0.625^5 approx 0.095 e (1 - p)^n - k = 0.375^15 approx 2.93 times 10^-6 :

Passo 8

Multiplicando todos os termos para encontrar P(5) = 15504 times 0.095 times 2.93 times 10^-6 approx 0.0043 :

Resposta

A probabilidade de que a soma dos valores de seja igual a 5 em 20 tentativas é aproximadamente 0,43%.

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