A duração de vida de uma lâmpada segue uma va exponencial com média igual a 1 (em unidades de 100 horas).
Se a lâmpada já durou 50 horas ache a probabilidade dela durar mais de 200 horas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a duração de vida de uma lâmpada que segue uma distribuição exponencial, com média igual a 1 (em unidades de 100 horas). Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de essa lâmpada durar mais de 200 horas, dado que ela já durou 50 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo até a ocorrência de um evento, como a vida útil de uma lâmpada. A distribuição exponencial é definida por um parâmetro λ (lambda), que representa a taxa de ocorrência do evento. A média (esperança) dessa distribuição é dada por .

Passo 3

No nosso caso, a média é igual a 1 (em unidades de 100 horas). Então, temos:
1lambda = 1 Rightarrow lambda = 1
Isso significa que a taxa λ é 1 por 100 horas.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de a lâmpada durar mais de 200 horas, dado que ela já durou 50 horas. Isso é um caso clássico de probabilidade condicional na distribuição exponencial, que possui a propriedade de “memória sem memória”. Ou seja, a probabilidade futura não depende do que já aconteceu.

Passo 5

A propriedade de falta de memória da distribuição exponencial nos diz que:
P(X > s + t mid X > s) = P(X > t)
No nosso problema, P(X > 200 mid X > 50) = P(X > 150) horas e horas (porque queremos totalizar 200 horas). Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular P(X > x) = e^-lambda x . A função de sobrevivência para a distribuição exponencial é dada por:
P(X > 150) = e^-1 times 150100 = e^-1.5
Substituindo os valores:

Passo 7

Calculando e^-1.5 approx 0.22313 :

Resposta

A probabilidade da lâmpada durar mais de 200 horas, dado que ela já durou 50 horas, é aproximadamente 22,31%.

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