Seja o universo e sejam os conjuntos e . Descreva os seguintes conjuntos:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um universo chamado Ω que inclui todos os números de 0 até 2. Dentro desse universo, temos dois conjuntos:
  • A: Todos os números maiores que 1/2 e até 1.
  • B: Todos os números maiores ou iguais a 1/4 e menores que 3/2.
Vamos precisar entender conceitos básicos de união, interseção e diferença de conjuntos para descrever os conjuntos que a questão solicitar. Esses conceitos ajudam a combinar ou separar os conjuntos de diferentes maneiras.

Passo 2

União de A e B (A ∪ B): A união de dois conjuntos inclui todos os elementos que estão em A, em B, ou em ambos. Então, vamos juntar todos os números de A e B sem repetir.
  • A: 1/2 < x ≤ 1
  • B: 1/4 ≤ x < 3/2
Juntando esses intervalos, vemos que A vai de 1/2 a 1 e B vai de 1/4 a 3/2. A união será de 1/4 até 3/2, já que B cobre uma parte que A não cobre.
Portanto:

Passo 3

Interseção de A e B (A ∩ B): A interseção inclui apenas os elementos que estão tanto em A quanto em B. Vamos ver onde os intervalos de A e B se sobrepõem.
  • A: 1/2 < x ≤ 1
  • B: 1/4 ≤ x < 3/2
A sobreposição ocorre de 1/2 até 1, porque esse é o intervalo onde ambos os conjuntos têm elementos.
Então:

Passo 4

Diferença entre A e B (A \ B): A diferença A \ B inclui todos os elementos que estão em A, mas não em B.
  • A: 1/2 < x ≤ 1
  • B: 1/4 ≤ x < 3/2
Como todo elemento de A também está em B, não há elementos em A que não estejam em B.
Então:

Passo 5

Diferença entre B e A (B \ A): Agora, vamos ver os elementos que estão em B, mas não em A.
  • B: 1/4 ≤ x < 3/2
  • A: 1/2 < x ≤ 1
Isso significa que vamos pegar de B:
  1. De 1/4 até 1/2 (porque a partir de 1/2 até 1 está em A).
  2. De 1 até 3/2 (porque a partir de 1 em diante não está mais em A).
Portanto:

Passo 6

Complemento de A (A’): O complemento de A inclui todos os elementos que estão no universo Ω, mas não em A.
  • A: 1/2 < x ≤ 1
  • Ω: 0 ≤ x ≤ 2
Então, o complemento será de 0 a 1/2 e de 1 a 2.

Resposta

Foram descritos os seguintes conjuntos:
  • União:
  • Interseção:
  • Diferença A \ B:
  • Diferença B \ A:
  • Complemento de A:

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