Seja X variável aleatória definida no espaço de probabilidade (Omega, A, P) e seja A in A evento aleatório tal que P(A)>0. Mostre que a distribuição condicional de X dado o evento A definida como
P(X in B mid A)=P([X in B] cap A)P(A)
é uma medida de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ definida em um espaço de probabilidade X e um evento $ A $ que pertence a $ \mathcal{A} $ com probabilidade $ P(A) > 0 $. O que o exercício quer é que a gente mostre que a distribuição condicional de $ X $ dado $ A $, que é definida por
(Omega, A, P)
é de fato uma medida de probabilidade. Basicamente, vamos precisar usar os conceitos de medida de probabilidade e propriedades das probabilidades condicionais para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma medida de probabilidade. Para que $ P(X \in B \mid A) $ seja uma medida de probabilidade, ela precisa satisfazer três propriedades básicas:
  1. Não-negatividade: Para todo conjunto $ B $, $ P(X \in B \mid A) \geq 0 $.
  2. Normalização: $ P(X \in \Omega \mid A) = 1 $.
  3. Aditividade Contável: Se $ B_1, B_2, B_3, \dots $ são eventos disjuntos dois a dois, então $ P(X \in \bigcup_{i=1}^\infty B_i \mid A) = \sum_{i=1}^\infty P(X \in B_i \mid A) $.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a definição dada.

Passo 3

1. Não-negatividade
Vamos verificar se $ P(X \in B \mid A) \geq 0 $.
Como $ P([X \in B] \cap A) $ é uma probabilidade, ele é sempre maior ou igual a zero. E $ P(A) > 0 $ pelo enunciado. Então,
P(X in B mid A) >= 0
Portanto, a não-negatividade está satisfeita.

Passo 4

2. Normalização
Agora, precisamos mostrar que $ P(X \in \Omega \mid A) = 1 $.
Sabemos que $ \Omega $ é o espaço amostral completo, ou seja, $ X \in \Omega $ acontece sempre que $ X $ ocorre. Então,
P(X in Omega mid A) = 1
Assim, a normalização também está satisfeita.

Passo 5

3. Aditividade Contável
Por último, vamos verificar a aditividade contável. Suponha que temos uma sequência de eventos disjuntos $ B_1, B_2, B_3, \dots $. Queremos mostrar que
B1, B2, B3, dots
Começamos aplicando a definição da probabilidade condicional:
P(X in cupi=1^infty Bi mid A) = sumi=1^infty P(X in Bi mid A)
Como os eventos $ B_i $ são disjuntos, a união deles intersectada com $ A $ é a mesma coisa que a união das interseções individuais:
P(X in cupi=1^infty Bi mid A) = P([X in cupi=1^infty Bi] cap A)P(A)
Agora, usando a propriedade de aditividade das probabilidades para eventos disjuntos:
Bi
Substituindo de volta na definição condicional:
A
Portanto, a aditividade contável também está satisfeita.

Resposta

Como todas as três propriedades de uma medida de probabilidade foram verificadas (não-negatividade, normalização e aditividade contável), podemos concluir que a distribuição condicional de $ X $ dado o evento $ A $, definida por
X
é de fato uma medida de probabilidade.

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