Seja
variável aleatória definida no espaço de probabilidade
e seja
evento aleatório tal que
. Mostre que a distribuição condicional de
dado o evento
definida como
é uma medida de probabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ definida em um espaço de probabilidade
e um evento $ A $ que pertence a $ \mathcal{A} $ com probabilidade $ P(A) > 0 $. O que o exercício quer é que a gente mostre que a distribuição condicional de $ X $ dado $ A $, que é definida por
é de fato uma medida de probabilidade. Basicamente, vamos precisar usar os conceitos de medida de probabilidade e propriedades das probabilidades condicionais para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma medida de probabilidade. Para que $ P(X \in B \mid A) $ seja uma medida de probabilidade, ela precisa satisfazer três propriedades básicas:
- Não-negatividade: Para todo conjunto $ B $, $ P(X \in B \mid A) \geq 0 $.
- Normalização: $ P(X \in \Omega \mid A) = 1 $.
- Aditividade Contável: Se $ B_1, B_2, B_3, \dots $ são eventos disjuntos dois a dois, então $ P(X \in \bigcup_{i=1}^\infty B_i \mid A) = \sum_{i=1}^\infty P(X \in B_i \mid A) $.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a definição dada.
Passo 3
1. Não-negatividade
Vamos verificar se $ P(X \in B \mid A) \geq 0 $.
Como $ P([X \in B] \cap A) $ é uma probabilidade, ele é sempre maior ou igual a zero. E $ P(A) > 0 $ pelo enunciado. Então,
Portanto, a não-negatividade está satisfeita.
Passo 4
2. Normalização
Agora, precisamos mostrar que $ P(X \in \Omega \mid A) = 1 $.
Sabemos que $ \Omega $ é o espaço amostral completo, ou seja, $ X \in \Omega $ acontece sempre que $ X $ ocorre. Então,
Assim, a normalização também está satisfeita.
Passo 5
3. Aditividade Contável
Por último, vamos verificar a aditividade contável. Suponha que temos uma sequência de eventos disjuntos $ B_1, B_2, B_3, \dots $. Queremos mostrar que
Começamos aplicando a definição da probabilidade condicional:
Como os eventos $ B_i $ são disjuntos, a união deles intersectada com $ A $ é a mesma coisa que a união das interseções individuais:
Agora, usando a propriedade de aditividade das probabilidades para eventos disjuntos:
Substituindo de volta na definição condicional:
Portanto, a aditividade contável também está satisfeita.
Resposta
Como todas as três propriedades de uma medida de probabilidade foram verificadas (não-negatividade, normalização e aditividade contável), podemos concluir que a distribuição condicional de $ X $ dado o evento $ A $, definida por
é de fato uma medida de probabilidade.