Sejam X1 sim N(0,1) e X2 sim N(0,1), independentes. Obtenha as distribuições de:
(X1+X2)^2 /(X2-X1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X_{1} $ e $ X_{2} $, que seguem uma distribuição normal padrão, ou seja, $ X_{1} \sim N(0,1) $ e $ X_{2} \sim N(0,1) $, e elas são independentes. O exercício pede para encontrar a distribuição da expressão:
X1
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição normal, variáveis independentes, e como elas se comportam quando somamos ou subtraímos. Além disso, vamos usar o conceito de distribuição F, que surge quando trabalhamos com a razão de duas variáveis qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as somas e diferenças das variáveis $ X_{1} $ e $ X_{2} $. Como $ X_{1} $ e $ X_{2} $ são independentes e cada uma tem média 0 e variância 1, a soma $ X_{1} + X_{2} $ também será normalmente distribuída. Especificamente:
X1
Da mesma forma, a diferença $ X_{2} - X_{1} $ também segue uma distribuição normal:
X2

Passo 3

Agora, vamos considerar os quadrados dessas variáveis. Sabemos que se uma variável $ Z $ segue uma distribuição normal $ N(0, \sigma^{2}) $, então $ Z^{2} $ segue uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade, ou seja, $ Z^{2} \sim \chi^{2}(1) $.
Aplicando isso às nossas somas e diferenças:
Z
Aqui, multiplicamos por 2 porque a variância das somas e diferenças é 2.

Passo 4

A próxima etapa é considerar a razão entre esses dois termos. Quando temos a razão de duas variáveis qui-quadrado independentes, cada uma dividida pelos seus respectivos graus de liberdade, isso segue uma distribuição F.
No nosso caso, cada termo $ (X_{1} + X_{2})^{2} / 2 $ e $ (X_{2} - X_{1})^{2} / 2 $ segue uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Portanto, a razão:
(X1 + X2)^2 / 2
segue uma distribuição F com 1 grau de liberdade no numerador e 1 grau de liberdade no denominador.

Resposta

Então, a distribuição de $ \frac{(X_{1} + X_{2})^{2}}{(X_{2} - X_{1})^{2}} $ é uma distribuição F com 1 grau de liberdade no numerador e 1 grau de liberdade no denominador, ou seja:
(X1 + X2)^2(X2 - X1)^2

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