Sejam um ponto P= (2,4,2) e um plano a: x+ 3y- 2z +4 =0. A distância do ponto ao plano, medida em centímetros, é aproximadamente: -2,886 cm -2,573 cm -3,422 cm -3,742 cm -4,574 cm

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos dá um ponto $ P = (2, 4, 2) $ e um plano definido pela equação $ x + 3y - 2z + 4 = 0 $. Nosso objetivo é encontrar a distância desse ponto ao plano, medida em centímetros. Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância $ D $ de um ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ a um plano $ ax + by + cz + d = 0 $. A fórmula é:
D
Nessa fórmula:
  • $ a, b, c $ são os coeficientes das variáveis $ x, y, z $ na equação do plano.
  • $ d $ é o termo constante.
  • $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas do ponto.

Passo 3

Vamos identificar os valores na nossa equação do plano $ x + 3y - 2z + 4 = 0 $:
  • $ a = 1 $
  • $ b = 3 $
  • $ c = -2 $
  • $ d = 4 $
E o ponto $ P $ tem coordenadas:
  • $ x_0 = 2 $
  • $ y_0 = 4 $
  • $ z_0 = 2 $

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
D = 1 times 2 + 3 times 4 + (-2) times 2 + 4raiz1^2 + 3^2 + (-2)^2

Passo 5

Vamos calcular o numerador:
1 times 2 = 2
3 times 4 = 12
-2 times 2 = -4
Somando: 2 + 12 - 4 + 4 = 14
Então, o numerador é 14.

Passo 6

Agora, vamos calcular o denominador:
raiz1^2 + 3^2 + (-2)^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14

Passo 7

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
D = 14raiz14 = 143,7417 approx 3,743 cm

Resposta

A distância do ponto ao plano é aproximadamente -3,742 cm.

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