Sejam um ponto P= (2,4,2) e um plano a: x+ 3y- 2z +4 =0. A distância do ponto ao plano, medida em centímetros, é aproximadamente: -2,886 cm -2,573 cm -3,422 cm -3,742 cm -4,574 cm
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos dá um ponto $ P = (2, 4, 2) $ e um plano definido pela equação $ x + 3y - 2z + 4 = 0 $. Nosso objetivo é encontrar a distância desse ponto ao plano, medida em centímetros. Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância $ D $ de um ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ a um plano $ ax + by + cz + d = 0 $. A fórmula é:
Nessa fórmula:
- $ a, b, c $ são os coeficientes das variáveis $ x, y, z $ na equação do plano.
- $ d $ é o termo constante.
- $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas do ponto.
Passo 3
Vamos identificar os valores na nossa equação do plano $ x + 3y - 2z + 4 = 0 $:
- $ a = 1 $
- $ b = 3 $
- $ c = -2 $
- $ d = 4 $
E o ponto $ P $ tem coordenadas:
- $ x_0 = 2 $
- $ y_0 = 4 $
- $ z_0 = 2 $
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Passo 5
Vamos calcular o numerador:
Então, o numerador é 14.
Passo 6
Agora, vamos calcular o denominador:
Passo 7
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Resposta
A distância do ponto ao plano é aproximadamente -3,742 cm.