Sejam V=R^3 e
u1=(1,1,-2), u2=(3,0,4)
vetores em V. Quais dos vetores u=(4,-5,9), v=(3,1,-4) e w=(-1,1,0) são combinações lineares dos vetores u1 e u2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre combinações lineares no espaço tridimensional, . A gente tem dois vetores e , e precisa verificar se os vetores , e podem ser escritos como combinações lineares desses dois vetores iniciais. Para isso, vamos precisar resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é combinação linear. Um vetor v = au1 + bu2 é uma combinação linear de e se existirem escalares e tais que:
Isso significa que podemos escrever cada componente de como uma equação envolvendo e .

Passo 3

Vamos começar verificando o vetor (4,-5,9) = a(1,1,-2) + b(3,0,4) . Queremos encontrar a + 3b = 4 a + 0b = -5 -2a + 4b = 9 e que satisfaçam:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o segundo sistema, temos diretamente -5 + 3b = 4 Rightarrow 3b = 9 Rightarrow b = 3 .
Substituindo -2(-5) + 4(3) = 10 + 12 = 22 neq 9 na primeira equação:
Agora, verificamos na terceira equação:
Como a terceira equação não é satisfeita, a conclusão é que não é uma combinação linear de e .

Passo 5

Agora, vamos verificar o vetor (3,1,-4) = a(1,1,-2) + b(3,0,4) . Procuramos a + 3b = 3 a + 0b = 1 -2a + 4b = -4 e tais que:
Isso resulta no sistema:

Passo 6

Da segunda equação, temos 1 + 3b = 3 Rightarrow 3b = 2 Rightarrow b = 23 .
Substituindo -2(1) + 4(23) = -2 + 83 = -6 + 83 = 23 neq -4 na primeira equação:
Verificando na terceira equação:
Portanto, não é uma combinação linear de e .

Passo 7

Finalmente, vamos verificar o vetor (-1,1,0) = a(1,1,-2) + b(3,0,4) . Precisamos encontrar a + 3b = -1 a + 0b = 1 -2a + 4b = 0 e que satisfaçam:
O sistema fica:

Passo 8

Da segunda equação, temos 1 + 3b = -1 Rightarrow 3b = -2 Rightarrow b = -23 .
Substituindo -2(1) + 4(-23) = -2 - 83 = -6 - 83 = -143 neq 0 na primeira equação:
Verificando na terceira equação:
Assim, não é uma combinação linear de e .

Resposta

Nenhum dos vetores , e é uma combinação linear dos vetores e .

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