Sejam e
vetores em . Quais dos vetores e são combinações lineares dos vetores e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre combinações lineares no espaço tridimensional, . A gente tem dois vetores e , e precisa verificar se os vetores , e podem ser escritos como combinações lineares desses dois vetores iniciais. Para isso, vamos precisar resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é combinação linear. Um vetor é uma combinação linear de e se existirem escalares e tais que:
Isso significa que podemos escrever cada componente de como uma equação envolvendo e .

Passo 3

Vamos começar verificando o vetor . Queremos encontrar e que satisfaçam:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o segundo sistema, temos diretamente .
Substituindo na primeira equação:
Agora, verificamos na terceira equação:
Como a terceira equação não é satisfeita, a conclusão é que não é uma combinação linear de e .

Passo 5

Agora, vamos verificar o vetor . Procuramos e tais que:
Isso resulta no sistema:

Passo 6

Da segunda equação, temos .
Substituindo na primeira equação:
Verificando na terceira equação:
Portanto, não é uma combinação linear de e .

Passo 7

Finalmente, vamos verificar o vetor . Precisamos encontrar e que satisfaçam:
O sistema fica:

Passo 8

Da segunda equação, temos .
Substituindo na primeira equação:
Verificando na terceira equação:
Assim, não é uma combinação linear de e .

Resposta

Nenhum dos vetores , e é uma combinação linear dos vetores e .

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Determine o fator integrante para a seguinte equação e resolva:
Determine o fator integrante e resolva:
Resolva a equação exata .