O sinal amarelo num cruzamento fica ligado durante 3 s. A largura do cruzamento é de 15 m. A aceleração máxima de um carro que se encontra a 30 m do cruzamento quando o sinal muda para amarelo é de 3 m/s², e ele pode ser freado a 5 m/s². Que velocidade mínima o carro precisa ter na mudança do sinal para amarelo a fim de que possa atravessar no amarelo? Qual é a velocidade máxima que ainda lhe permite parar antes de atingir o cruzamento? Considere duas situações nas resoluções acima: na primeira, o motorista avista a mudança de sinal e começa a frenagem instantaneamente; na segunda, o motorista leva um tempo de reação de 0,7 s até acionar os freios.

Passo 1

Beleza! Vamos lá resumir o que está acontecendo aqui. Temos um sinal amarelo que fica ligado por 3 segundos num cruzamento que tem 15 metros de largura. Um carro está a 30 metros de distância do cruzamento quando o sinal muda para amarelo. A gente sabe que o carro pode acelerar até 3 m/s² e frear com uma desaceleração de 5 m/s².
Vamos precisar usar conceitos de cinemática, como as equações do movimento com aceleração e desaceleração, para descobrir duas coisas:
  1. Velocidade mínima que o carro precisa ter quando o sinal muda para amarelo para conseguir atravessar o cruzamento durante o amarelo.
  2. Velocidade máxima que o carro pode ter para ainda conseguir parar antes de chegar ao cruzamento.
Vamos resolver considerando duas situações:
  • Situação 1: O motorista começa a frear imediatamente ao ver o amarelo.
  • Situação 2: O motorista leva 0,7 segundos para reagir antes de começar a frear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade mínima que o carro precisa ter para atravessar o cruzamento durante o sinal amarelo.
Dados:
  • Tempo do amarelo: $ t_{amarelo} = 3,s $
  • Largura do cruzamento: $ s = 15,m $
Queremos que o carro percorra 15 metros em até 3 segundos. Para isso, vamos usar a fórmula da velocidade média:
tamarelo = 3,s í
Substituindo os valores:
s = 15,m í
Então, o carro precisa pelo menos estar a 5 m/s quando o sinal ficar amarelo para conseguir atravessar a tempo.

Passo 3

Agora, vamos determinar a velocidade máxima que o carro pode ter e ainda assim conseguir parar antes de chegar ao cruzamento.
Dados:
  • Distância até o cruzamento: $ d = 30,m $
  • Desaceleração: $ a = 5,m/s² $
Vamos usar a equação de movimento que relaciona velocidade inicial, aceleração e distância:
d = 30,m
Aqui, queremos que a velocidade final $ v_f = 0 $ (ou seja, o carro para), então:
a = 5,m/s² ²
vf^2 = v0^2 + 2a s
vf = 0
0 = v0^2 - 2 cdot 5,m/s² cdot 30,m
v0^2 = 2 cdot 5 cdot 30
Então, a velocidade máxima que o carro pode ter para conseguir parar a tempo é de aproximadamente 17,32 m/s.

Passo 4

Agora, vamos considerar as duas situações mencionadas para cada um dos cálculos acima.

Situação 1: Freagem instantânea

Já resolvemos essa situação nos Passos 2 e 3:
  • Velocidade mínima para atravessar: 5 m/s
  • Velocidade máxima para parar: 17,32 m/s

Situação 2: Tempo de reação de 0,7 segundos

Quando o motorista leva 0,7 segundos para reagir, o carro continua se movendo com a velocidade inicial durante esse tempo antes de começar a frear.
Para a velocidade mínima:
Durante os 0,7 segundos de reação, o carro percorre:
sreação = v cdot treação çãçã
sreação = v cdot 0,7 çã
Após a reação, o tempo restante para atravessar o cruzamento é:
trestante = 3,s - 0,7,s = 2,3,s
A distância total a percorrer é 15 metros, então:
s = sreação + smovimento çã
15 = v cdot 0,7 + v cdot 2,3
15 = v (0,7 + 2,3)
15 = v cdot 3
v = 153 = 5,m/s
Interessante! A velocidade mínima continua sendo 5 m/s, mesmo com o tempo de reação.
Para a velocidade máxima:
Durante os 0,7 segundos de reação, o carro percorre:
sreação = v cdot 0,7 çã
A distância restante para parar:
sparar = d - sreação = 30,m - v cdot 0,7 çã
Usando a mesma equação de antes:
0 = v^2 - 2 cdot 5 cdot (30 - 0,7v)
v^2 = 10(30 - 0,7v)
v^2 = 300 - 7v
v^2 + 7v - 300 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
v = -7 pm raiz49 + 12002
v = -7 pm raiz12492
v = -7 pm 35,342
Desconsideramos a solução negativa:
v = 28,342
v approx 14,17,m/s
Então, com o tempo de reação de 0,7 segundos, a velocidade máxima que o carro pode ter para ainda parar a tempo é de aproximadamente 14,17 m/s.

Resposta

  • Situação 1:
    • Velocidade mínima para atravessar no amarelo: 5 m/s
    • Velocidade máxima para parar antes do cruzamento: 17,32 m/s
  • Situação 2:
    • Velocidade mínima para atravessar no amarelo: 5 m/s
    • Velocidade máxima para parar antes do cruzamento: 14,17 m/s

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