Sorteamos 3 bolas de uma urna com 4 bolas amarelas e 6 bolas azuis e 2 bolas verdes. Seja X o total de bolas amarelas sorteadas e Y o total de bolas azuis sorteadas. Nestas condições, encontre a função de probabilidade conjunta de X e Y nos casos em que
6a
o sorteio é feito sem reposição,

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com:
  • 4 bolas amarelas
  • 6 bolas azuis
  • 2 bolas verdes
Vamos sortear 3 bolas sem reposição, ou seja, uma vez que retiramos uma bola, ela não volta para a urna. Queremos descobrir a função de probabilidade conjunta de duas variáveis:
  • X: número total de bolas amarelas sorteadas
  • Y: número total de bolas azuis sorteadas
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinatória, especificamente combinações, já que a ordem das bolas não importa no sorteio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de formas de sortear 3 bolas dentre as 12 disponíveis. Isso é dado pela combinação de 12 bolas tomadas 3 a 3:
C(12, 3) = 12!3! times (12-3)! = 220
Esse é o nosso denominador, que representa todas as possibilidades possíveis de sorteio.

Passo 3

Agora, vamos calcular o numerador, ou seja, o número de maneiras de sortear exatamente x bolas amarelas e y bolas azuis. Para isso:
  1. Escolher x bolas amarelas dentre as 4 disponíveis:
C(4, x)
  1. Escolher y bolas azuis dentre as 6 disponíveis:
C(6, y)
  1. Escolher as bolas restantes (3 - x - y) das bolas verdes. Como há 2 bolas verdes:
C(2, 3 - x - y)

Passo 4

A função de probabilidade conjunta P(X = x, Y = y) = C(4, x) times C(6, y) times C(2, 3 - x - y)C(12, 3) é dada pela razão entre o número de maneiras favoráveis e o número total de maneiras:
Lembrando que deve ser um número inteiro não negativo e não pode exceder 2, já que só temos 2 bolas verdes.

Passo 5

Vamos resumir os possíveis valores de e que satisfazem :
0 0 3 (inválido, pois só temos 2 verdes)
0 1 2
0 2 1
0 3 0
1 0 2
1 1 1
1 2 0
2 0 1
2 1 0
3 0 0
Desprezaremos os casos onde é negativo ou maior que 2.

Passo 6

Vamos calcular alguns exemplos para ilustrar:
  1. P(X = 1, Y = 1):
P(1,1) = C(4,1) times C(6,1) times C(2,1)220 = 4 times 6 times 2220 = 48220 approx 0,218
  1. P(X = 2, Y = 0):
P(2,0) = C(4,2) times C(6,0) times C(2,1)220 = 6 times 1 times 2220 = 12220 approx 0,0545

Resposta

A função de probabilidade conjunta de P(X = x, Y = y) = C(4, x) times C(6, y) times C(2, 3 - x - y)220 e é:
onde e são números inteiros que satisfazem e , .

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