Sorteamos 3 bolas de uma urna com 4 bolas amarelas e 6 bolas azuis e 2 bolas verdes. Seja
o total de bolas amarelas sorteadas e Y o total de bolas azuis sorteadas. Nestas condições, encontre a função de probabilidade conjunta de
e
nos casos em que
6a
o sorteio é feito sem reposição,
6a
o sorteio é feito sem reposição,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com:
- 4 bolas amarelas
- 6 bolas azuis
- 2 bolas verdes
Vamos sortear 3 bolas sem reposição, ou seja, uma vez que retiramos uma bola, ela não volta para a urna. Queremos descobrir a função de probabilidade conjunta de duas variáveis:
- X: número total de bolas amarelas sorteadas
- Y: número total de bolas azuis sorteadas
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinatória, especificamente combinações, já que a ordem das bolas não importa no sorteio.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de formas de sortear 3 bolas dentre as 12 disponíveis. Isso é dado pela combinação de 12 bolas tomadas 3 a 3:
Esse é o nosso denominador, que representa todas as possibilidades possíveis de sorteio.
Passo 3
Agora, vamos calcular o numerador, ou seja, o número de maneiras de sortear exatamente x bolas amarelas e y bolas azuis. Para isso:
- Escolher x bolas amarelas dentre as 4 disponíveis:
- Escolher y bolas azuis dentre as 6 disponíveis:
- Escolher as bolas restantes (3 - x - y) das bolas verdes. Como há 2 bolas verdes:
Passo 4
A função de probabilidade conjunta
é dada pela razão entre o número de maneiras favoráveis e o número total de maneiras:
Lembrando que
deve ser um número inteiro não negativo e não pode exceder 2, já que só temos 2 bolas verdes.
Passo 5
Vamos resumir os possíveis valores de
e
que satisfazem
:
|
|
|
---|---|---|
0 | 0 | 3 (inválido, pois só temos 2 verdes) |
0 | 1 | 2 |
0 | 2 | 1 |
0 | 3 | 0 |
1 | 0 | 2 |
1 | 1 | 1 |
1 | 2 | 0 |
2 | 0 | 1 |
2 | 1 | 0 |
3 | 0 | 0 |
Desprezaremos os casos onde
é negativo ou maior que 2.
Passo 6
Vamos calcular alguns exemplos para ilustrar:
- P(X = 1, Y = 1):
- P(X = 2, Y = 0):
Resposta
A função de probabilidade conjunta de
e
é:
onde
e
são números inteiros que satisfazem
e
,
.
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