Seja T uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por
f(t)=54(t+1), 0 <= t <= 4
Determine a função distribuição acumulada de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma variável aleatória contínua chamada com uma função densidade de probabilidade definida no intervalo de . Nosso objetivo aqui é determinar a função distribuição acumulada (FDA) dessa variável, que basicamente nos mostra a probabilidade de assumir valores menores ou iguais a um certo valor .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função distribuição acumulada (FDA). A FDA de uma variável aleatória contínua FT(t) = P(T <= t) = integral-infty^t f(u) , du é definida como:
FT(t) = integral0^t f(u) , du para 0 <= t <= 4
No nosso caso, como está definido apenas entre 0 e 4, a FDA será:

Passo 3

Agora, vamos substituir a função densidade de probabilidade FT(t) = integral0^t 54(u+1) , du na integral:

Passo 4

Para resolver essa integral, precisamos lembrar que a integral de FT(t) = 54 integral0^t 1u+1 , du = 54 [ ln(u+1) ]0^t em relação a é . Assim, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da integral nos limites de 0 a FT(t) = 54 [ ln(t+1) - ln(0+1) ] = 54 ln(t+1) :
FT(t) = 54 ln(t+1)
Como , a expressão simplifica para:

Resposta

A função distribuição acumulada de FT(t) = 54 ln(t+1) para 0 <= t <= 4 é dada por:

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